《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-3-3幂级数

第三讲 幂级数习题

无 穷 级 数 第三讲 幂 级 数 习题

无穷级敛 1.求幂级数的收敛域 00 定理： 若)anx"的系数满足Lim An+1 =P, n→∞ an n=0 1 当p≠0时， R= 则： 当p=0时， R=0∞ 当p=o时， R=0 00 anx的收敛半径为：R=lim an n-→0∞ n=0 an+i

无 穷 级 数 1. 求幂级数的收敛域

无穷级数 00 举例 x2n+1 例1.求幂级数(-1)” 2n+1 的收敛半径及收敛域： n=1 解：因为 (2n+1)x2n+3 2n+1 lim (2n+3)x2n+1 lim n→oo n→0∞ B+1w1 当x=一1时级数 (-1)n+1 收敛， 2n+1 n=1 当x=1时，级数 〉，(-1m-1 收敛， n1 原级数的收敛半径为1，收敛域为[-1,1]

无 穷 级 数 举例 例1. 求幂级数 解： 因为 原级数的收敛半径为1，收敛域为[-1,1]

无穷级数 举例 (x-5)m 例2.求幂级数 的收敛区间及收敛域， Vn n=0 (x-5)+1Vm 解：因为lim <1,→1(x-5)川<1， vn+1(x-5)n 4<x<6. 当x=4时级数 -1)” 收敛， n=0 00 当x=6时，级数 发散 原级数的收敛区间为(4,6)，收敛域为4,6)

无 穷 级 数 举例 例2. 求幂级数 解： 因为 ᵽ < ᵉ < ᵽ

无穷级数 举例 例3.求幂级数 xn的收敛区间 n< 解：因为 lim n→0∞ =ex<1解得： -1<x<l e e 原级数的收敛区间为(-己君·

无 穷 级 数 举例 例3. 求幂级数 解： 因为 − ᵼ ᵈ < ᵉ < ᵼ ᵈ

无穷级数 00 举例 3n+4m 例4.求幂级数 2 xn的收敛区间， n n=1 解：因为 lim 3n+1n n+03<1 =3x<1解得： -1<x< 3 3 4m+1n lim n→o lm+10<1, =4x<1解得： 原级数的收敛区间为(-寻)

无 穷 级 数 举例 例4. 求幂级数 解： 因为 − ᵼ ᵽ < ᵉ < ᵼ ᵽ . − ᵼ ᵽ < ᵉ < ᵼ ᵽ

无穷级数 00 举例 例5.求幂级数〉(n+2)xn+3的和函数S(x), 00 n=1 解 :∑x=1+x+.+x+.= 1 1-x'-1<x<1) n=0 两边同时求导： (-1<X<1) 1 nxn-1=1+2x+3x2+.+nxn-1+.= (1-x)2 n=1 00 +23=Bx2+43+）=2-2x ∑( x2 n= x2 S(x)= 1-2x2-2x3,(-1<x<1)

无 穷 级 数 举例 例5. 求幂级数 解： 两边同时求导： ( − 1 < ᵆ < 1)

无穷级数 课堂小结 1.求幂级数的收敛域 00 anx"的收敛半径为：R=lim an m-→0o n=0

无 穷 级 数 课 堂 小 结 1. 求幂级数的收敛域

工作人员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 黄光迪张晗 冀 彦

无 穷 级 数 工 作 人 员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 黄光迪 张 晗 冀 彦