《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-3-2幂级数

第二讲 幂级数

无 穷 级 数 第二讲 幂 级 数

无穷级数 1.幂级数的运算 00 定理1.设幂级数 ∑anx和 bnxn的收敛半径分别为R1,R2 n=0 n=0 令R=min{R1,R2},则有： 00 ∑aix±∑bax=∑atbn）xn |x|<R; n=0 n=0 n0 区区-以<R akbn-k k=0

无 穷 级 数 1.幂级数的运算 定理1

无穷级敛 00 定理2.若幂级数 anx”的收敛半径R>0,则其和函数S(x) n=0 在收敛域上连续且在收敛区间内可逐项求导逐项求积分， 运算前后收敛半径相同， SG)-=∑ay-∑nx1,x∈(-R,R) +1 s6waw-ad=∑a+ ,x∈(-R,R) m0 n=0 注：逐项积分时，运算前后端点处的敛散性不变

无 穷 级 数 运算前后收敛半径相同. 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导,逐项求积分

无穷级数 2.几种常见幂级数的和函数 00 1 ∑x”=1+x++x0+=1x ,(-1(-10"x=1-x+x2-.+(1”x0+.=1十，(-1x n=0 00 =1+x+2++w=e,R n=0 (-1)” 2n+7元 (-1)” x2m1=x-3++2n+1 x2n+1+.=sinx

无 穷 级 数 2.几种常见幂级数的和函数

无穷级数 00 举例 例1.求幂级数 〉nxn的和函数S(x), n=1 解： 1 xn=1+x+.+x+.= 1-x'(-1<x<1) n=0 两边同时求导： 00 n=1 两边同时乘以x: 00 X nxn=x+.+nx+.= (1-x2=S(),(-1<x<1) n=1

无 穷 级 数 举例 例1. 求幂级数 解： 两边同时求导：

无穷级数 举例 例2.求幂级数 1 x”的和函数S(x), +1 n=0 00 解：∑x0=1+x+.+0+.= 1 1-x,（-1<x<1) n=0 两边同时积分： ra=x+营++ xn+l +1 十

无 穷 级 数 举例 例2. 求幂级数 解： 两边同时积分：

无穷级敛 两边同时除以x(x≠O): =1+* 1 xn+. n+1 n=0 -n(1-x x 2=S(),(-1≤x<1,x≠0) -lm(1-x) lim =1 X→0 X 由和函数的连续性可知： -lm(1-x) S()= ,x∈[-1,0)U(0,1) 1,x=0

无 穷 级 数 由和函数的连续性可知：

无穷级数 举例 x4n+1 例3.求幂级数 的和函数S(x) 4n+1 n=] 1 解： 0=1+x+.++=1-x（-1<x<1) n=0 把x替换为x4, 00 1 n=1+++n+.=1-x,（-1<x<1) n=0 两边同时积分： ●文● ,t ∑x=x+写++n 1 7x4n+1+. n= 0

无 穷 级 数 举例 例3. 求幂级数 解： 两边同时积分：

无穷级数 1 dx 品+)+

无 穷 级 数

无穷级数 00 举例 例4.求数项级数 2-2 1 的和 n=2 00 解： 1 xn=1+X+.+xn+.= 1-x(-1<x<1) n=0 0 ∑xdx=x+艺+.+ xn+1 0 2 n+1 n=0 00 =-n(1-x) n=1 x2 x3 -lm(1-x)-x- 2=3+.+0+.=∑ xn+1 n+1 n=2

无 穷 级 数 举例 例4.求数项级数 解：