《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）8-1-2傅里叶积分与傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换

第二讲 傅里叶积分 与傅里叶变换

第二讲 傅里叶积分 与傅里叶变换

傅里叶变换 傅里叶级数的展开说明了周期为T的函数-(t)仅包含了离 散的频率成分，即它可由一系列以，=为间隔的离散频率 所形成的简谐波合成；当T→∞，ω0→0，周期函数变成了非 周期函数，其频谱将在ω上连续取值，即一个非周期函数将包 含所有的频率成分。这样离散的函数的求和就变成连续函数的 积分了

傅里叶变换

1.傅里叶积分定理 定理2：如果函数f(t)在(-o∞，+∞)上的任一有限区间满足狄 氏条件，且在(-o∞，+o)上绝对可积（即If(t)dt<+∞），则 成立傅里叶积分公式（傅里叶积分表达式） +00 f()= f(t)e-jordlejotdw 在f(t)的间断点处有 f(t+o)+f(t-0)_f(t+)+f(t) 2 2 -co f(t)e-jrdr]ejwtdo

1.傅里叶积分定理

2.傅里叶变换与傅里叶逆变换 (1)傅里叶变换公式F(ω)称为f(t)的像函数。 十00 F(o)=f(t)e-iot dt =FIF(t)] (2)傅里叶逆变换公式f(t)称为F(ω)的像原函数。 十00 f因=2 F(ω)ejt deω=F-1[F(ω)] 00 间断点处收敛于 f(t+0)+f(t-0)_f(t)+f(t) 2 2

2.傅里叶变换与傅里叶逆变换 （1）傅里叶变换公式 （2）傅里叶逆变换公式 间断点处收敛于

非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量， 而F(ω)是f(t)中各频率分量的分布密度。 F(ω)称为频谱密度函数，也称为频谱或连续频谱： 1F(ω)川称为振幅谱； argF(ω)称为相位谱

举例 例1：求矩形脉冲函数f(t)= 1,lt川≤δ (0,ltl>6 ,(6>0) 的傅里叶变换及傅氏积分表达式。 解：① 傅里叶变换 F(w）=∫tf(t)e-jot dt=e-jot dt e-jwt 6 -6 e-jw8_ejw8 -jω -jω 2(elo6-e-jo6) 2sinω6 2jω =28sinw6 8w

举例 解： ① 傅里叶变换

f(t)= Q86>0 1,lt|≤δ F(o) 26 振幅谱：IF(ω儿=2δ sinw8 2πππ2π ag(w） 0, 2nm≤lwl≤2+m argF(ω)= π，2t1r<lal<2n+2m 6 2πT 相位谱： n∈N

ᵈ ∈ ᵇ − ᵯ ᵆ ᵯ 1 ᵅ( ᵆ ) − ᵯ ᵯ 2 ᵯ |ᵆ ( ᵴ )| ᵯ ᵱ ᵰ ᵈᵉᵈᵆ ( ᵴ ) ᵱ 振幅谱 : 相位谱 :

② 傅氏积分表达式 f(t)=1to 2sinsw 2πJ-00 ejwt dw ω 1 c+oo 2sinw 2πJ-00 cosωt+jsinωt]lω 1,lt8 t=0,6=1, 元0 dx=1 r+∞sinx dx π 2

ᵆ − ᵯ ᵯ 1 ᵅ(ᵆ) ② 傅氏积分表达式

举例 例2：已知f(t)的频谱为 Fa-l@三&u≥o,求o, 解：f(d=2元JF(ω)eotdω elut do -elut-e-jat) sinat a sinat 三一· πt at

举例 解：