《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）9-1-6卷积与逆变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第六讲 卷积与逆变换

第六讲 卷积与逆变换

1.周期函数的像函数东 设f(t)是[0，+∞)内以T为周期的函数，且f(t)在一个周 期内逐段光滑，则

1.周期函数的像函数

证：ft)]=0f(t)e-stdt=。ft)e-stdt+-f(t)e-sdt =f(t)e-stdtf(t-T)e-stdt =f(t)e-stdtf(u)e-suDdu =f(t)e-stdt+e-sTf(u)e-sudu =f(t)e-stdt+e-sTcIf(t)] (de

证：

举例 例1：求全波整流后的正弦波f(t)=|sinωt的像函数。 解：f(t)是[0，+∞)内以T=严为周期的函数。 1 c[ft】=1-es sinwt.e-stdt 1 est(-s·sinωt-ωcosωt) T 1-e-sT s2+w2 0 1+e-sT ω 1-e-sT s2+02

解： 举例

举例 例2：设f(t)= {simt,0≤tπ，为f(t)在[0,2m] l0,π≤t≤2π 上的取值，且f(t)为以2π为周期函数，求C[f(t)]。 解：由cf(t=idf(estdt 1 .et(-ssint-cos 1-e-s2π s2+1 0 1+e-sπ，1_1 1 1-e-s2rs2+11-e-sπs2+1

解：由 举例

飞2.卷积与卷积定理东 定义设实值函数f1(t)与f2(t)在(-∞，+o)内有定义. 若反常积分∫f1()f2(t-t)dπ对任何实数t收敛，则它定 义了一个自变量为t的函数，称此函数为f1(t)与f2(t)的卷积， 即f1(t)*f2(t)=∫f1()f2(t-)dπ 如果设实值函数f1(t)与f2(t)在t<0时，f2(t)=f1(t)=0 即f1()*f2()=0f1(t)f2(t-t)dr f1(0*f2()= f1(t)f2(t-t)dπ(t≥0) 0

2.卷积与卷积定理

性质： f1(t)*f2(t)=f2z(t)*f1(t) f1(t)*[f2(t)*f3(t]=[f1(t)*f2(t)]*f3(t) f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=[f1(t)*f2(t)]+f1(t)*f3(t)

性质：

举例 例1、求下列函数在[0，+o)上的卷积： f(t)=t,f2(t)=sint, 解：f1(t)*f2(t)=f1(t)f2(t-t)dx =rsin(t -r)dr =rdcos(t-t) =xcos(t-r)cos(t-r)dr t+sin(t-=t-sint

举例

举例 例2、求下列函数在[0，+∞)上的卷积： f1(t)=t2f2(t)=t 解f1()*fz(t)=f1()f2(t-t)dπ =6t2(t-)dr =(tr2-73)dr =引6-引6 t4 t 4 12

举例