《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）9-1-4拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第四讲 拉普拉斯变换的性质

第四讲 拉普拉斯变换的性质

1拉普拉斯变换的性质 5、微分性质： Ⅱ.像函数的导数 设F(s)=c[f(t)],则有F'(s)=-[tf(t)] 推广Fm)(s)=(-1)”c[tf(t)] 证明：F'(s=aFs=(dt) ds ds =-0”tf(e)e-stdt =-c[tf(t)] 同理F)(s)=(-1)"c[t"f(t)]

1.拉普拉斯变换的性质 5、微分性质： Ⅱ. 像函数的导数 证明： 同理

举例 例1：求tcoswt、tsinwt的拉氏变换。 (1)F(S)=L[cos wt]=s2+2 S 解： s2-w2 Cltco s wt]=-F'(S)=(s2+02)2 ω (2)F(S)=C[sinwt]=s2+02 2Sω Cltsinwt]=-F'(S)=(s2+w2)

举例 解：

举例 例2：求tcos2t的拉氏变换。 解： F(S)coco2 2 115 2sT2s2+4 [tcos24=-FS)=232+ 1 s2-4 (s2+4)2

举例 解：

举例 例3：求tcos2t的拉氏变换。 解： 1+cos2t. F(S)=c[cos2t]=2 11S 25+232+4 0s2t=F65)=2(s6+24s2+32) s3(s2+4)3

举例 解：

软件实现 使用Geogebra软件：拉普拉斯变换（) 或laplace() 运算区输入：t2cos2t,回车 运行结果： t2cos(t)·cos(t) t2 cos2(t) laplace($1) 2 2s6+48s2+64 s9+12s7+48s5+64s3 部分分式(52) 3 -16. 1 s2+4)3T(62+4)2

软件实现 运行结果：

举例 例4：利用拉氏变换的性质，求C-1[F(s)] S+1 (1)F(s)=ln s-1 解：设F(s)=c[f(t)],则有F'(s)=-C[tf(t)] F(s)==in(s+1)-In(s-1) -f1=P=- et-e-t sinht L-1[-F(s)]=el-e-t=tf(P O f(t)st-et=2simhe t t

举例 解：

s2-1 (2)F(s)=Lm s2 解：R6=n子=mg-0-n 1 2 三1+，i C-1[-F'(s)]=2-et-e-t=tf(t) fe=2-(e+e) et+e-t cos ht 2 f()= 2-2coshe t

解：

总结 F(s)像函数 C-1(F(s)=f(t)像原函数 s2-w2 Cltcoswt]=(s2+@2)2 s2-w2 =teosot 2sw taina 2S)

总 结