《复变函数与积分变换》课程教学课件（讲稿）9-1-2拉普拉斯变换的性质

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换

第二讲 拉普拉斯变换的性质

第二讲 拉普拉斯变换的性质

化1拉普拉斯变换的性质东 1、线性性质： 设F(s)=c[f(t)],G(s)=E[g(t)],a,B为常数，则 C[af(t)+Bg(t)]=aF(s)+BG(s) C-1[aF(s)+BG(s)]=af(t)+Bg(t)

1.拉普拉斯变换的性质 1、线性性质：

举例 例1：求coswt、sinwt的拉氏变换。 解： COSWt=olut+e-jwt 2 sinat =elot-e-lot 2j teos t =+）=4o csnw-"m2。etar -1)= S+ωj s2+w2

举例 解：

基础练习 1.求下列函数的拉氏变换F(s)。 S (1)f(t)=as 4t 解：[cos4t]= 52+16 3 (2）ft)=in3t 解：c[sin3U=s2+9 2 3s (3)f(d)=2sint+3c0s2t解：Cf(t]=32+1+s2+4

基础练习 （ᵼ ）ᵈ(ᵉ) = ᵈᵉᵉ ᵽ ᵉ （ᵽ ）ᵈ(ᵉ) = ᵉᵈᵈ ᵽ ᵉ 解： 解： 解：

基础练习 2.求下列像函数F(s)的拉氏逆变换。 S (1)F(S)= s2+25 解：L132+25=cos5t 8 (2)F(S)= 8 s2+64 解：C1【s2+6d=stn8t 8 8 (3)F(S)= s2+4 解：94 4sin2t

基础练习 解： 解： 解：

举例 例2：已知F(s)= s+i2求C15(sn. 5s-1 5s-1 。=2+3 解：FS=s+1DS-27子，3 方法：令a 5s-1 =十点=2++四 s+1s-2 (s+1)(s-2) 得a+b=5,b-2a=-1,解出a=2,b=3. E1[Fs=￡-1[6il+-1[3]=2et+3e2

举例 解：

软件实现 使用Geogebra软件：部分分式（)； 或partialfractions() .代数区输入：部分分式 5x-1 （x+-2回车 f(x)=部分分式 5×-1 运行结果： (×+1)(x-2) 2 x-2十x+五 l.运算区输入： 5s-1 5s-1 (s+1)(s-2) 回车 (5+1)s-2) 5s-1 部分分式 s2-5-2 ($1) 部分分式($1) 2 运行结课： 3 2 s-2+s)

部分分式 （$1） 运行结果： 软件实现 运行结果：

2、相似性质： 设F(s)=[f()l,a>0为常数，则c[f(at]=aF(⑧) 证：c[f(at)]=0f(at)e-sidt =f是e2du f(u)edu aF设

2、相似性质： 证：

3、延迟性质： 设F(S)=c[f(t)],当t<0时，f(t)=0,则对任一 非负实数r有C[f(t-t)]=esrF(s). 证明：c[f(t-t】=0f(t-t)e-sdt utf(u)e-s(utr du =ef(u)e-sudu =e-sTF(s) 注：c[f(t-)u(t-t)]=esrF(s).t<t,f(t-t)=0 C-i[e-sF(s)]=f(t-t)u(t-t)

3、延迟性质： 证明： 注： ᵉ = ᵉ − ᵴ