《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第二章 矩阵及其运算 第二节 矩阵的运算

第二节矩阵的运算 一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、矩阵的其它运算 六、小结 上一页G不页返回首页

第二节 矩阵的运算 上一页 下一页 返回首页 一、矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、矩阵的转置 五、矩阵的其它运算 六、小结

一、矩阵的加法 定义2 设有两个m×n矩阵A=(abB=(b,)，那末矩阵 A与B的和记作A+B,规定为 au bu a2+b 2 . ain bin a21+b21 az2 +bxz A+B= ambm mn 一项不页返首页

定义2               + + + + + + + + + + = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 21 21 22 22 2 2 11 11 12 12 1 1 一、矩阵的加法 设有两个 矩阵 ，那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 mn ( ) ( ) A = aij B = bij , A B A+ B 上一页 下一页 返回首页

说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 12 -5 (1 8 例如 1 -9 0 6 5 3 6 8 3 2 12+1 3+8 -5+9 13 11 1+6 -9+5 0+4 1 -4 3+3 6+2 8+1 6 8 不页返回首页

说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算. 例如           +           − − 3 2 1 6 5 4 1 8 9 3 6 8 1 9 0 12 3 5           + + + + − + + + + − + = 3 3 6 2 8 1 1 6 9 5 0 4 12 1 3 8 5 9 . 6 8 9 7 4 4 13 11 4           = − 上一页 下一页 返回首页

2、矩阵加法的运算规律 ()A+B=B+A; (2)(A+B)+C=A+(B+C) l12 一02 . 3)-A= 一L2n =(ag♪ 一ml 称为矩阵4的负矩阵 (4)A+（-A)=0,A-B=A+(-B) 上一页不一页返回首

2、 矩阵加法的运算规律 (1) A+ B = B + A; (2)(A+ B)+ C = A+ (B + C). ( )               − − − − − − − − − − = m m m n n n a a a a a a a a a A        1 1 21 22 2 11 12 1 3 (4) A+ (− A) = 0, A− B = A+ (− B). ( ), = − aij 称为矩阵A的负矩阵. 上一页 下一页 返回首页

也就是 (a.-b. 4.-b。.0.-b a,-b -b., -b. A-B 0= a-b. a-b. 例如 (2= -2 -2 上一页不页返回首页

              − − − − − − − − − − = m m m m m n m n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A B        1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 也就是 , 2 1 0 5 1 3 4 0 A         − − − =         − − − − = 4 1 3 5 2 1 0 0 B 上一页 下一页 返回首页 例如 . 6 0 3 0 3 2 4 0         − − A− B =

二、数与矩阵相乘 定义3 数2与矩阵A的乘积记作孔A或A几，规定为 211 212 21n 2A=A入= 221 222 22n 。. Aam Aam Aamn 上一项不页返回首页

定义3 . 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1               = = m m mn n n a a a a a a a a a A A                   二、数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为 上一页 下一页 返回首页

2、数乘矩阵的运算规律 (设A、B为m×n矩阵，2,4为数) (1)(4)A=2(4片 (2)(2+4)A=2A+A; (3)(A+B)=2A+2B. 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线 性运算 上一页G不页返向首顶

(1)()A = (A); (2)( + )A = A+ A; (3) (A+ B) = A+ B. 2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算. （设 A、B 为 mn 矩阵，  , 为数） 上一页 下一页 返回首页

例1设有矩阵A-(0- 2- 0 1-3-5 求2A-3B. 解 2A-3B. 0 0 23-（62-4600+2) 8-0 0-0 -6-103203 0-9-10-(-15)

例1 , 2 1 0 5 1 3 4 0 A         − − − =         − − − − = 4 1 3 5 2 1 0 0 B         − − − − −        − − − = 4 1 3 5 2 1 0 0 3 2 1 0 5 1 3 4 0 2 求2A− 3B. . 4 12 2 3 0 9 10 ( 15) 2 ( 6) 6 ( 2) 8 0 0 0         − − − − − − − − − − − − − − =         − − − − −        − − − = 12 3 9 15 6 2 0 0 4 2 0 10 2 6 8 0 设有矩阵 解 2A− 3B.         − − = 6 0 3 0 3 2 4 0

三、矩阵与矩阵相乘 1定义4 设A=(a)是一个m×s矩阵，B=(b,)是一个 s×n矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积 是一个m×n矩阵C=(c),其中 Cy=anbu abs++anby=anby (i=1,2,.m;i=1,2,.,n)月 并把此乘积记作C=AB. 上一页不页返回首页

1 定义4 = + + + =  = s k ij ai b j ai b j ai sbsj ai k bkj c 1 1 1 2 2  (i = 1,2, m; j = 1,2,  ,n), 并把此乘积记作 C = AB. 三、矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 ( ) A = aij m s ( ) B = bij sn mn ( )ij C = c A B 上一页 下一页 返回首页

说明 =A B (1) 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 例如 71 23 68 不存在 (2) C=(c)中的元素c确定的方法

C mn = A ms B sn 说明 （1） 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如                 6 0 1 1 6 8 5 8 9 3 2 1 1 2 3 不存在. （2） C = (c ij )mn 中的元素c ij 确定的方法