《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第五章 相似矩阵及二次型 第一节 向量的内积、长度及正交性

第5牵相帜斑阵风二次型 第一节向量的内积，长度及正 交性

第一节 向量的内积，长度及正 交性

、 内积的定义及性质 定义1 设有n维向量 例如 XI y 2 0 X2 0= B= x= y= -2 0 令[xy]= 1y a ]=-5 称[x,y]为向量x与y的内积

定义1 设有n维向量 , , 2 1 2 1               =               = n n y y y y x x x x     n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2 令 , 称x, y为向量x与 y的 内积 . 一、内积的定义及性质 例如               − =               − − = 0 1 1 2 , 2 3 0 1      = −5

说明 1n(n≥4)维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义. 2内积是向量的一种运算，如果x,y都是列 向量，内积可用矩阵记号表示为： [x,y]=xTy. y2 (x1,X2,Xn) =X1y1+x2y2+.+XnYn

说明 1 维向量的内积是3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义． n(n  4)  ,  . , : 2 , , x y x y x y T = 向量 内积可用矩阵记号表示为 内积是向量的一种运算 如果 都是列               n n y y y x x x   2 1 1 2 ( , , , ) n n = x y + x y ++ x y 1 1 2 2

内积的运算性质 (其中x,y,z为n维向量，为实数)： [k,]=[,x]; (2)[x,]=k,y]; (3)[x+,z]=[x,z]+[y,z] (4)[x,x≥0，且当x≠0时有[x,x>0. [xy]=x1y+x2y2++nyn

内积的运算性质 (其中x, y,z为n维向量,为实数): (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x + y,z = x,z+ y,z; (4)[x, x]  0,且当x  0时有[x, x]  0.   n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2

二、向量的长度及性质 定义2令 x=√x,x]=V+x++x, 称x为n维向量x的长度（或范数） 向量的长度具有下述性质： 1.非负性当x≠0时，x>0;当x=0时，x=0; 2.齐次性2x=2x; 3.三角不等式x+y川≤x+y x,y=x1y1+x2y2++xnyn

定义2 1.非负性 2.齐次性 3.三角不等式 ,  , 2 2 2 2 x = x x = x1 + x ++ xn 令 称 x 为n维向量x的 长度 (或 范数 ). 向量的长度具有下述性质： 当x  0时, x  0;当x = 0时, x = 0; x =  x ; x + y  x + y . 二、向量的长度及性质   n n x y = x y + x y ++ x y 1 1 2 2

单位向量及n维向量间的夹角 ()当x=1时，称x为单位向量. (2)当x≠0，y≠0时，0=arccos [x,y] kly 称为n维向量x与y的夹角. 例求向量a=(1,2,2,3)与B=(（3,1,5,1)的夹角. .cos= a·B 18√2 解 aB3W2.62 元 ∴.0= 4

单位向量及n维向量间的夹角 例 求向量 = (1,2,2,3)与 = (3,1,5,1)的夹角. 解       cos = 2 2 3 2 6 18 =  = . 4   = (1)当 x = 1时,称x为 单位向量 . ( )   x y x y x y , 2 当  0,  0时, = arccos 称为n维向量x与y的 夹角

三、正交向量组的概念及求法 1正交的概念 当x,y=0时，称向量x与y正交 由定义知若x=0,则x与任何向量都正交 2 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组

１ 正交的概念 ２ 正交向量组的概念 当[x, y] = 0时,称向量x与y 正交 . 由定义知,若 x = 0,则 x与任何向量都正交. 若一非零向量组中的向量两两正交， 三、正交向量组的概念及求法 则称该向 量组为正交向量组．

3正交向量组的性质 定理 若n维向量g1,2,a是一组两两正交白 非零向量则a1,a2,线性无关 说明正交向量组一定 证明 设有几1,12，.，2，使 反之不一定。 2c1+元22+.+20，=0 以aT左乘上式两，aTa1=0 由a,≠0→a,「a1=a,12≠0，从而有入=0. 同理可得22=.=儿，=0.故1，必2，线性无关

0 0, 2 1   1 1 = 1  T 由 0 . 从而有1 = 0. 同理可得2 = = r = , , , . 故1  2   r线性无关 证明 设有 1 ,2 ,  ,r 使 11 + 22 ++ r = 0 以1 T 左乘上式两端,得 11 1 = 0 T ３ 正交向量组的性质 非零向量, 定理1 若n维向量1 ,2 ,,r 是一组两两正交的 则1 , 2 ,  , r 线性无关. 说明正交向量组一定 反之不一定

4向量空间的正交基 若a1,2,a,是向量空间V的一个基，且ag1,a2, ,a,是两两正交的非零向组，则称a1,2,.,a,是 向量空间的正交基 例1已知三维向量空间中两个向量 1 Cy1= 02 -2 1 正交，试求C,使a,C2,a,构成三维空间的一个正交 基

例1 已知三维向量空间中两个向量           = −           = 1 2 1 , 1 1 1 1  2 正交，试求 使 构成三维空间的一个正交 基.  3 1  2  3 , , ４ 向量空间的正交基 . , , , , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 向量空间 的正交基 是两两正交的非零向量组 则 称 是 若 是向量空间 的一个基 且 V V r r r            

解设a3=(x1,x2,七3)I≠0，且分别与a1,a2正交， 则有 [a1,a31=[a2,a3l=0 [a1,a3】=x1+x2+x3=0 即 [a2,a3】=x1-2x2+x3=0 解之得x1=-x3,x2=0. 1 02 若令x3=1,则有 03= X2 01 由上可知C,C2,C,构成三维空间的一个正交基

即    = − + = = + + = [ , ] 2 0 [ , ] 0 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 x x x x x x     解之得 , 0. x1 = −x3 x2 = 若令 x3 = 1,则有           − =           = 1 0 1 3 2 1 3 x x x  由上可知 1  2  3 构成三维空间的一个正交基. , , 则有 [1 , 3 ] = [ 2 , 3 ] = 0 解 ( , , ) 0, , . 设 3 = 1 2 3  且分别与1  2正交 T x x x           = −           = 1 2 1 , 1 1 1 1  2