《经济数学基础》课程PPT教学课件（微积分）第8章 多元函数积分学

第8章多元函数积分学 8.1二重积分的概念与性质 8.2二重积分的计算 结束

8.1 二重积分的概念与性质 8.2 二重积分的计算 第8章 多元函数积分学 结束

8.1二重积分的概念与性质 8.1.1二重积分的概念 引例1曲顶柱体的体积. 若有一个柱体，它的底是Ox平面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准 z=f(x,y) 线，且母线平行于轴的柱面， 它的顶是曲面z=孔xy)， 设f孔x,)20为D上的连续函数. 我们称这个柱体为曲顶柱体 现在来求这个曲顶柱体的体积， 前页后页结求

前页 后页 结束 若有一个柱体，它的底是Oxy平面上的闭区域D， 它的侧面是以D 的边界曲线为准 线，且母线平行于z轴的柱面， 它的顶是曲面z=f(x,y)， 设 f(x,y)≥0为D上的连续函数. 我们称这个柱体为曲顶柱体. 引例1 曲顶柱体的体积. z f x y = ( , ) 8.1.1 二重积分的概念 8.1 二重积分的概念与性质 现在来求这个曲顶柱体的体积. D

解(1)分割用两组曲线把区域D任意分割成个小块： △g1,△02，.，△on) 其中△既表示第个小块，也表示第个小块的面积， (2)近似记为【 的真径 f(x,y) (卿表示忠狂意两点间距 离的最大值)，在△中任取一 点（传，以花丽底 为△的平顶柱体体积为 (5,7） f(5,7)△o 此为小曲顶柱体体积的近似值 △01 前页后页结束

前页 后页 结束 其中 既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.  i (2)近似 记 为 的直径 (即 表示 中任意两点间距 离的最大值)，在 中任取一 点 ,以 为高而底 为 的平顶柱体体积为   i i   i   i i  ( , ) i i   ( , ) i i f    i ( , ) . i i i f    解(1)分割 用两组曲线把区域D任意分割成n个小块: 1 2 , , , ,       n z f x y = ( , ) ( , ) i i   此为小曲顶柱体体积的近似值 Δσi

(3)求和 把所有小平顶柱体的体积加起来，得到曲 顶柱体体积的近似值为 空f5n)Ao (4)取极限记入=max{2,入2，.，2n},若极限 i- 存在，则它即为所求曲顶柱体的体积： 前页后页结束

前页 后页 结束 (4) 取极限 记     = max{ , , , } 1 2 n ,若极限 0 1 lim ( , ) n i i i i f     → =   存在,则它即为所求曲顶柱体的体积. (3) 求和 把所有小平顶柱体的体积加起来,得到曲 顶柱体体积的近似值为 1 ( , ) . n i i i i f    =  

1.二重积分的定义 定义设f(心y)是定义在闭区域D上的有界函数. 把区域D任意分割成n个小区域：△o,△o,△o。其 中△o表示第个小区域=1,2，n),也表示其面积.在每个小 区域△o;上任取一点(5，n),作和 ∑f5,n,)△c i=1 若为的直径，记元=max(2荐极限，} im∑f5,n,)△o 2>0 i=l 存在，则称为函数（在区域D上的定积分，记 ∬fx,y)do 即∬fx,y)ao=im∑f(5,n)△o 2→0 D i=1 前页后页结束

前页 后页 结束 1．二重积分的定义 定义 设f (x,y)是定义在闭区域D上的有界函数. 把区域 D 任意分割成n个小区域: 其 中 表示第i个小区域(i=1,2,.,n),也表示其面积.在每个小 区域  i 上任取一点 ,作和  i 1 2 , , ,       n ， 1 ( , ) n i i i i f    =   若 为 的直径，记     = max{ , , , } , 1 2 若极限 n 0 1 lim ( , ) n i i i i f     → =   i  i ( , ) i i   存在,则称为函数 f x y ( , ) 在区域D上的定积分,记 ( , ) D f x y d  即 0 1 lim ( , ) n i i i i f     → = ( , ) =   D f x y d 

其中fc)称为被积函数，f(x,y)dσ称为被积表达式，dσ 称为面积元素，x和y称为积分变量，∑f(5,)△o,称为积 分和 由以上定义知，曲顶柱体的体积V=厂f(x,y)do 注：(1和式极限存在是指当所有小区域的最大直径2→0时 积分和有惟一确定的极限，极限值与D的分法和 (的职 法无关 (2)二重积分的值是个常数，其大小仅与被积函数和积分 区域有关而和积分变量无关， 前页后页结来

前页 后页 结束 其中f (x,y) 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为面积元素, x 和y 称为积分变量, 称为积 分和. 由以上定义知,曲顶柱体的体积 f x y ( , )d 注:(1)和式极限存在是指当所有小区域的最大直径 时 积分和有惟一确定的极限,极限值与D的分法和 的取 法无关. 区域有关而和积分变量无关. (2)二重积分的值是个常数,其大小仅与被积函数和积分 d 1 ( , ) n i i i i f    =    →0 ( , ) i i   ( , )d D V f x y =  

2.二重积分的存在定理 若f孔x,)在有界闭区域D上连续，则x,)在D上必可积， 3.二重积分的几何意义： (1)若在D上xy)≥0，则 川f(化，y)表示以区域D为底， 以xy)为曲顶的曲顶柱体的体积 (2)若在D上x,)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若：y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区 域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱 体体积的代数和（即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减 去Ox平面之下的曲顶柱体的体积). 前页后页结束

前页 后页 结束 2.二重积分的存在定理 若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上必可积. 3.二重积分的几何意义： (1) 若在D上f(x,y)≥0，则 表示以区域D为底， 以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积. ( , )d  D f x y (2) 若在D上 f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方 二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区 域上为负的，则二重积分表示在这些子区域上曲顶柱 体体积的代数和(即在Oxy平面之上的曲顶 柱体体积减 去Oxy平面之下的曲顶柱体的体积)

8.1.2二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中 所涉及的函数cJy),gcy)在区域D上都是可积的. 性质1被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 ∬，pNa=rxaa D 性质2有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代 数和的积分等于各函数积分的代数和，即 Vs,)±gG,lNo=f,ao±∬gs,Jao 前页后页结来

前页 后页 结束 8.1.2 二重积分的性质 二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中 所涉及的函数f(x,y)，g(x,y)在区域 D上都是可积的. 性质2 有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代 数和的积分等于各函数积分的代数和，即 [ ( , ) ( , )]d ( , )d ( , )d . D D D f x y g x y f x y g x y  =        性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即 ( , )d ( ) , d D D kf x y k f x y   =  

性质3若D可以分为两个区域D1,D2,则 /,ag=,ao+/K,ao. 性质4 若在D上处处有fx,)sgx),则有 fcao≤∬sc,pao 性质5 若在积分区域D上有fx,)=1,则 [「do=o(o表示D的面积 前页后页结束

前页 后页 结束 1 2 ( , )d ( , )d ( , )d . D D D f x y f x y f x y    = +    性质3 若D 可以分为两个区域D1，D2，则 d ( D    =  性质5 若在积分区域D上有f(x,y)=1，则 性质4 若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有 ( , )d ( , )d . D D f x y g x y      表示D的面积) D1 D2

性质6（估值定理） 若在D上处处有msfx,y)sM,则 mo≤∬fK,ydc≤Mo(o表示D的面积) 性质7（二重积分中值定理） 设fx,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点（传，）使 ∬fx,ag=f5,)o.(o表示D的面积) 上式的等号右边的式子称为函数fx,)在D上平均值 前页后页结来

前页 后页 结束 性质7(二重积分中值定理) 设f(x,y)在有界闭区域D 上连续，则在D上存在点 ( , )   ，使 ( , )d ( , ) . D f x y f     =  性质6(估值定理) 若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，则 ( , )d D m f x y M       （ 表示D的面积) （ 表示D的面积) 上式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均值