《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第二章 矩阵（2/4）

三.逆矩阵 1.逆矩阵的定义、唯一性 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 3. 可逆矩阵的性质 1.逆矩阵的定义、唯一性 概念的引入：在数的运算中，当数≠0时，有 aa"=aa=1, 其中'=1为a的倒数， (或称的逆)； 在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵A，如果存在一个矩阵A! 使得 AA=AA-E, 则矩阵A称为A的可逆矩阵或逆阵

1 三. 逆矩阵 1. 逆矩阵的定义、唯一性 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 3. 可逆矩阵的性质 1. 逆矩阵的定义、唯一性 1, 1 1 = = − − aa a a 则矩阵 称为A的可逆矩阵或逆阵. −1 A 概念的引入: 在数的运算中，当数 a  0 时，有 a a 1 1 = − 其中 为 a 的倒数， （或称 a 的逆）； 在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵 A ， −1 如果存在一个矩阵 A , , 1 1 AA = A A = E − − 使得

定义：设A为n阶方阵，若存在n阶方阵B,使得 AB=BA-E 则称矩阵A是可逆的，方阵B称为A的逆矩阵， 记作A1=B 岗：使4G》=( AB=BA=E, .B是A的一个逆矩阵 2

2 定义： A B A B A AB BA E A B = = = −1 n n 记作 则称矩阵 是可逆的，方阵 称为 的逆矩阵， 设 为 阶方阵，若存在 阶方阵 ，使得 例 : 设 , 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 1 1 1       −  =      − A = B  AB = BA = E, B是A的一个逆矩阵

唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： 设B、C都是A的逆矩阵，则 AB=BA-E,AC=CA=E 从而B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C 3

3 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 证明： B EB CA B C AB CE C AB BA E AC CA E B C A = = = = = = = = = 从而 ( ) ( ) ， 设 、 都是 的逆矩阵，则

逆矩阵的求法一：待定系数法 例1： 设A= -1 求A的逆矩阵. a b 解： 设B= c d 是A的逆矩阵， 则 AB- 3)-0 →2420=00 4

4 则             − = c d a b AB 1 0 2 1       = 0 1 1 0        =      − − + +  0 1 2 2 1 0 a b a c b d 逆矩阵的求法一：待定系数法 例1: 设 , 1 0 2 1       − A = 求A的逆矩阵. 解：       = c d a b 设 B 是 A 的逆矩阵

2a+c=1, a=0, 2b+d=0, b=-1, → → -a=0, c=1, -b=1, d=2. 又因为 AB BA (9030-0 所以-2 5

5  − = − = + = + =  1, 0, 2 0, 2 1, ba b d a c  === −=  2. 1,1 , 0 , dcba 又因为   − 1 0 2 1   − 1 2 0 1   − 1 0 2 1 =   − 1 2 0 1 , 0 1 1 0  = 所以 . 1 2 0 1 1   − = − A AB BA

2.矩阵可逆的判别定理及求法 定理： n阶方阵A可逆当且仅当A≠0 ,其中为矩阵的伴随矩阵 且1-1 证明：（→） A可逆，则有A,使AA1=E 两边取行列式，得AA=AA=1 因此，A≠0 6

6 2. 矩阵可逆的判别定理及求法 定理: n阶方阵A可逆当且仅当 A  0 证明： 0 1 ( ) 1 1 1 1  = = =  − − − − A AA A A A A AA E 因此， 两边取行列式，得 可逆，则有 ，使 1 1 A A , A −  且 = 其中A 为矩阵A的伴随矩阵. 

(←) 丙为=AE,当A≠0时，有A爱=E, 又因为A=AE,当A≠0时，有有A=E, 所以4=台4=E,所以4=4 奇异矩阵： A=0 (退化矩阵) 非奇异矩阵：A≠0 (非退化矩阵) 7

7 奇异矩阵： A = 0 非奇异矩阵： A  0 （退化矩阵） （非退化矩阵） −        = = = =  = =  =  A A A E A A A A A A A E A A A A AE A E A A AA AE A A 1 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) 所以 ，所以 1 又因为 ，当 时，有 ， 因为 ，当 时，有

推论： 设A、B为同阶方阵，若AB=E, 则方阵A和B都可逆， 且A1=B,B1=A 证明：若AB=E,则AB=AB=1 所以A≠0，所以A存在，有 B=EB=(A-A)B=A(AB)=A-E=A 同理，B可逆，且A=B- 注：判断B是否为A的逆矩阵， 只需验证AB=E和BA=E中的一个即可 8

8 推论： A B B A A B A B AB E = = = 且 −1 ， −1 则方阵 和 都可逆， 设 、 为同阶方阵，若 ， 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 0 , 1 − − − − − − = = = = = = = = = B A B B EB A A B A AB A E A A A AB E AB A B 同理， 可逆，且 所以 ，所以 存在 有 证明： 若 ，则 注： 只需验证 和 中的一个即可 判断 是否为 的逆矩阵， AB E BA E B A= =

逆矩阵的求法二：伴随矩阵法 A A A A 其中A为A的伴随矩阵， A为行列式A中元素a的代数余子式： 2) 特别地，对=阶方阵4-(：） 当A=d-bc≠0时，有 9

9 . 1 1n 2n nn 12 22 n2 11 21 n1 1 为行列式 中元素 的代数余子式 其中 为 的伴随矩阵， ，其中 Aij A aij A A A A A A A A A A A A A A A  −               = =        (1) (2)       − − − = = = −        = −  c a d b ad bc A A A A ad bc c d a b A 1 1 0 1 当 时，有 特别地，对二阶方阵 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法

3.可逆矩阵的运算性质 ()若A可逆，则A亦可逆，且(4=A. (2)若A可逆，数2≠0，则2A可逆，且 -21 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆，则AB亦可逆，且 (A比士习 证明：（ABBA)=ABB1A=AEA1 .（AB=BA1. =AA=E, 推广（AA2A=AA1 10

10 (1) , , ( ) . 1 1 1 A A A = A − 若 可逆 则 − 亦可逆 且 − 3. 可逆矩阵的运算性质 ( ) 2 若A可逆,数  0,则A可逆,且 (3)若A,B为同阶方阵且均可逆,则AB亦可逆,且 ( )( ) ( ) −1 −1 −1 −1 AB B A = A BB A −1 = AEA , 1 = AA = E − ( ) . −1 −1 −1  AB = B A 证明： ( ) = −1 ABB −1 −1 A ( ) . −1 1 −1 A = A   ( ) . 1 2 1 2 − − 推广 A1 A Am = A −1 Am −1 A1