《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第三章 向量空间（4/4）

1.向量的内积、长度、夹角。 五.内积、正交化、正交矩阵， 2.Schmidt]正交化、单位化法。 3.正交矩阵。 1.向量的内积、长度、夹角 a a2 b2 定义1：n维实向量0= B= 称(a,B)=a,b+a2b2+.+unbn b =(41,42,.,0n) =a"B 为向量与B的内积。 若a,B为行向量，则(@，B)=B

1 五. 内积、正交化、正交矩阵. 1.向量的内积、长度、夹角。 2.Schmidt正交化、单位化法。 3.正交矩阵。 1. 向量的内积、长度、夹角 定义1：n维实向量 1 2 n a a a      =         1 2 n b b b      =         称 1 1 2 2 ( , ) n n   = + + + a b a b a b 1 2 1 2 ( , , , ) T n n b b a a a b       = =         为向量  与  的内积。 若 , 为行向量，则 ( , ) T    =

向量内积的性质： (1)(a,B)=(B,a) 对称性 (2)(a+B,Y)=(a,Y)+(B,Y) 线性性 3)(ka,B)=k(a,B) (4)(a,a)≥0 正定性 等号成立当且仅当=0 定义2：实数la=V(a,a)=√a+a+.+a 称为向量的长度（或模，或范数） 若a=1,称a为单位向量。 2

2 向量内积的性质： (1)( , ) ( , )     = (2)( , ) ( , ) ( , )        + = + (3)( , ) ( , ) k k     =  线性性 对称性 (4)( , ) 0    等号成立当且仅当  = 0 正定性 定义2：实数 2 2 2 1 2 ( , ) n    = = + + + a a a 称为向量的长度（或模，或范数） 若  = 1, 称  为单位向量

把向量单位化：若a≠0，则≠0 考电( r2aa中-1 即 a 的模为1，为单位向量，称为把Q单位化。 向量长度的性质： (1)非负性： 当a≠0时，a>0 当a=0时，a=0 (2)齐次性： kal=ka (3)柯西-一施瓦兹不等式：(a,B)≤aB (4)三角不等式：a+B≤a+B 3

3 把向量单位化： 若   0, 则   0 考虑 2 2 2 1 1 ( , ) ( , ) 1          = = = 即   的模为1，为单位向量，称为把  单位化。 向量长度的性质： （1）非负性： 当   0 时，   0 当  = 0 时，  = 0 （2）齐次性： k k   = （3）柯西—施瓦兹不等式： ( , )      （4）三角不等式：    +  +

非零向盘和B的夹角余弦：c0s(a,p)=aB】 aB 定义3：非零向量a,B的夹角是 (a,B〉=arccos a,B) alB 定义4：当向量，B的内积为零时，即(@，B)=0时， 即C⊥B时，称向量a,B正交。 注： (1)零向量与任何向量都正交。 (2)定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 4

4 非零向量  和  的夹角余弦: ( , ) cos ,       = 定义3：非零向量  , 的夹角是 ( , ) , arccos       = 注： （1）零向量与任何向量都正交。 （2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。 当向量  , 的内积为零时，即 ( , ) 0   = 时， 即   ⊥ 时，称向量  , 正交。 定义4：

2.Schmidt.正交化、单位化法。 定义5： 正交向两组：非零实向量41,02，.，0c,两两正交。 正交单位向量组： 非零实向量c1,必2，.，心，两两正交， (标准正交向量组)且每个向量长度全为1。 1(i=j) 即 (a,a,）={0i≠j) 定理：正交向量组是线性无关的。 schmidt正交化、单位化法： 例：书p100例3.5.1 5

5 2. Schmidt正交化、单位化法。 定义5： 正交向两组：非零实向量 1 2 , , ,    s 两两正交。 正交单位向量组： （标准正交向量组） 非零实向量 1 2 , , ,    s 两两正交， 且每个向量长度全为1。 1( ) ( , ) 0( ) i j i j i j    = =    即 定理：正交向量组是线性无关的。 schmidt正交化、单位化法： 例：书p100例3.5.1

3.正交矩阵 定义6：A是一个n阶实矩阵，若AA=E, 则称A为正交矩阵。 定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则 (1)A=1或A=-1 (2)A1=AT (3)A(即A1)也是正交矩阵。 (4)AB也是正交矩阵。 6

6 3. 正交矩阵 定义6：A是一个n阶实矩阵，若 , T A A E= 则称A为正交矩阵。 定理：设A、B都是n阶正交矩阵，则 (1) 1 A = 或 A = −1 1 (2) T A A − = 1 (3) ( ) T A A 即 − 也是正交矩阵。 (4)AB 也是正交矩阵

定理：n阶实矩阵A是正交矩阵 ←→A的列（行)向量组为单位正交向量组。 证明：设A= 将A按列分块，设A=(C1,02,.,Cn) A是正交矩阵台ATA= (C1,C2,.,Cn）

7 定理：n阶实矩阵A是正交矩阵  A的列（行）向量组为单位正交向量组。 证明：设 11 1 1 n n nn a a A a a     =       将A按列分块，设 1 2 ( , , , ) A =    n A是正交矩阵 1 2 1 2 ( , , , ) T T T n T n A A            =        

aaz aa a az : a ar a,a T (a1,ac1) (a1,ac2) (a,an) (a2,c1) (a2,a2) 。 (az,a) (cn,1) (n,a2) (a,a 即 (a,a,)= 1(i=j) 0(i≠j) 即A的列向量组是单位正交向量组。 注：n个维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列 (行)向量构成的矩阵一定是正交矩阵。 练习：书p1053.21 8

8 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 T T T n T T T n T T T n n n n                         =       1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n                       =         1 1 1 1     =         1( ) ( , ) 0( ) i j i j i j    = =    即 即A的列向量组是单位正交向量组。 注：n个n维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列 （行） 向量构成的矩阵一定是正交矩阵。 练习：书p105 3.21