《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第四章 随机变量的数字特征 第5节 矩

第四章 随机变量的数字特征 §5矩 §5矩 1、定义 若EXk存在，称之为X的k阶原点矩。 若E(X-E)存在，称之为X的k阶中心矩。 若E(X-EX)(Y-EY)存在，称之为X和Y的k+I 阶混合中心矩。 所以EX是一阶原点矩，DX是二阶中心矩， 协方差Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 合返回主目录

§5 矩 1、定义 若 k EX 存在，称之为 X的 k 阶原点矩。 所以 EX 是一阶原点矩，DX 是二阶中心矩， 协方差 Cov(X,Y)是二阶混合中心矩。 若 k E(X − EX) 存在，称之为 X的 k 阶中心矩。 若 k l E(X − EX) (Y − EY) 存在，称之为 X和 Y 的 k+l 阶混合中心矩。 §5 矩 第四章 随机变量的数字特征 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 例1 §5矩 设随机变量X~NO,σ2)，试求E(X"). 解： 令：y= -EX 则Y~N(0,). DX 所以， r）=as0yjp6h- [ye 2 dy (1).当n为奇数时，由于被积函数是奇函数，所以 E(x")=0. [合】返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 例1 设随机变量X ~ N(0， 2 )，试求 E(X n )． 解： DX X EX Y − 令： =  X = 则 Y ~ N(0，1)． 所以， ( ) ( ) n n n E X = E Y ( )  + − = y f y dy Y n n   + − − = y e dy y n n 2 2 2  ( ) ． ⑴．当 为奇数时，由于被积函 数是奇函数，所以 = 0 n E X n 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 (2).当n为偶数时，由于被积函数是偶函数，所以 +00 2o” y”e2y √2π 0 令： 2=6则y=2, 1 11 2dt=2 2t 2dt 2 EXn 20 22 t 2 e-'dt 0 n +o0n+1 22 edt=22 n+ Vπ [合】返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 (2)．当n为偶数时，由于被积函 数是偶函数，所以  + − = 0 2 2 2 2 EX y e dy y n n n   dy t dt t dt t y t y 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 , 2 , 2 − − − = = 令： = 则 = ) 2 1 2 2 ( 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 + = =  =   + − − + + − − − n t e d t EX t e d t n n t n n n t n n n n       返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §5矩 00 其中r)=「xe 0 利用T-函数的性质：「(r+)=r),得 g》 2。a-业元=o2m-0州 Vπ 23 [合】返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 利用−函数的性质：(r +1)= r(r)，得       + =  2 2 1 2 n n n   ( )       −  − =  2 1 2 2 1 2 n n E X n n n         −  −  − =  2 3 2 3 2 2 1 2 n n n n n            −  − =  2 1 2 1 2 3 2 2 1 2  n n n n   ( )    2 2 2 2 1 !! n n n n − =  = (n −1)!! n  ( ) . 0 1 t x e dx t −x  −  其中  = 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 因而， §5矩 ！n为偶数 n为奇数 其中， nll= 1.3.5.nn为奇数 2.46.nn为偶数 特别，若X~NO,),则 ,咖豪r- 合返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 因而， ( ) ( )    − = 为奇数 为偶数 n n n E X n n 0  1 !! 其中，            = 为偶数 为奇数 n n n n n   2 4 6 1 3 5 !! 特别，若 X ~ N(0，1), 则 ( ) ( ) , 4 3. 0 1 !! 4 = =    − = n EX n n n E X n 时， 为奇数 为偶数 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 2、n维正态分布的性质 §5矩 1)n维随机变量(X,Xn)服从n维正态分布分X,.,X。 的任意线性组合1X1++1nX服从一维正态分布。 2)若(X,X)服从n维正态分布，Y,n是X,=1,n) 的线性函数，则(Y,.,Y)也服从正态分布。 3)若(X,X)服从n维正态分布，则X,Xn相互独 立分X,.,X,两两不相关。 [合】返回主目录

2、n维正态分布的性质 1) n维随机变量( , , ) X1  Xn 服从n维正态分布X Xn , , 1  的任意线性组合 n Xn l X ++ l 1 1 服从一维正态分布。 2) 若( , , ) X1  Xn 服从 n 维正态分布，Y Yn , , 1  是 X ( j 1, ,n) j =  的线性函数，则( , , ) Y1  Yn 也服从正态分布。 3) 若( , , ) X1  Xn 服从 n 维正态分布，则X Xn , , 1  相互独 立X Xn , , 1  两两不相关。 第四章 随机变量的数字特征 §5 矩 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 例2(1)设X,Y独立，X~N(1,4),Y~N(2,9),5矩 求：2X-Y的分布； (2)(X,Y)~N(1,2;4,9;0.5) 求：2X-Y的分布； 解：(1) E(2X-Y=2EX-EY=0 D(2X-Y)=4DX+DY=4×4+9=25 则：2X-Y~W(0,25) (2) D(2X-Y)=4DX+DY-2x2COV(X,Y) =25.4 Pxy DX DY=25-4×号x2x3=13 则：2X-Y~N(0,13) 合】返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 例 §5 矩 2 (1) 设 X,Y 独立，X ~ N(1,4), Y ~ N(2,9), 求：2X −Y 的分布； 解： 求：2X −Y 的分布； (1) E( 2X −Y) = 2EX − EY = 0 D( 2X −Y) = 4DX + DY = 44 + 9 = 25 则：2X −Y ~ N(0,25) 2 3 13 2 1 25 - 4 25 4 (2) (2 ) 4 2 2 ( , ) = XY = −    = − = + −  DX DY D X Y DX DY COV X Y  则：2X −Y ~ N(0,13) 返回主目录 (2) (X,Y) ~ N(1,2;4,9;0.5)

第四章 随机变量的数字特征 例3设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 §5矩 fx,川=2p(x)+9,(x,川 其中p,(x,y)和p2(x,y)都是二维正态密度函数，且它们对应 的二维随机变量的相关系数分别为}和-} 它们的边缘密 度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是1 (1)求随机变量X和Y的密度函数fx(x)和f(y), 及X和Y的相关系数 (2)问X和Y是否独立？为什么？ 解(1)由于二维正态密度函数的两个边缘密度都 是正态密度函数，因此有

第四章 随机变量的数字特征 例3 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 §5 矩 [ ( , ) ( , )], 2 1 ( , ) 1 2 f x y =  x y + x y 1. 3 1 3 1 ( , ) ( , ) 1 2 度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 的二维随机变量的相关系数分别为 和 ，它们的边缘密 其中 和 都是二维正态密度函数，且它们对应 −  x y  x y (1)求随机变量 和 的密度函数 和 ， 及 和 的相关系数 (2)问 和 是否独立？为什么？ X Y f (x) X f (y) Y X Y X Y 解 （1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度都 是正态密度函数，因此有

第四章 随机变量的数字特征 .o-Tram-e.o. 同理， f()=2 =e2. 则 XN(0,1),Y~N(0,1), 所以 EX-EY-0,DX =DY =1 随机变量X和Y的相关系数

第四章 随机变量的数字特征     −  −  −       f x = f x y dy = x y dy + x y dy X ( , ) ( , ) 2 1 ( ) ( , ) 1  2 ; 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x e e e − − − =         = +    f Y ( y) = 同理， ; 2 1 2 2 x e −  0, 1. ~ (0,1), ~ (0,1), EX = EY = DX = DY = X N Y N 所以 则 随机变量 X 和 Y 的相关系数

第四章 随机变量的数字特征 §5矩 p=了jWx,d Tjo.no. -0 (2)由题设 3 9 fx,)= 2 16 xy+y2) 9 +e 642 34 8π√2

第四章 随机变量的数字特征 §5 矩       = + =        −  −  −  −  −  − x y x y dxdy x y x y dxdy xyf x y dxdy ( , ) ( , ) 2 1 ( , ) 1  2  （2）由题设 , 8 2 3 ( , ) ) 3 2 ( 1 6 9 ) 3 2 ( 1 6 9 2 2 2 2       = + − x − xy+ y − x + xy+ y f x y e e  0. 3 1 3 1 2 1 =      = −