《经济数学基础》课程教学资源（PPT讲稿）实验3 螺旋线与平面的交点

实验3 螺旋线与平面的交点 3.1 实验目的 本次实验目的在于使学生能够借助于计算机，利用数学软件解决 一些具体的非线性方程的求根问题。 3.2实验内容 螺旋线与平面相交的情况多种多样，根据螺旋线与平面方程的不 同可以相交，也可以不相交。在相交的情况下，可以交于一点，也可 以交于好多点。对于各种相交的情况，要求其交点的坐标并不是一件 容易的事。本次实验就以此为背景讨论几种方程求根方法。以下面的 具体问题为例：已知螺旋线的参数方程为x=4c0S0,y=4sin0, 2=0,0≤0≤8π，平面的方程为x+y+0.5z-2=0,求该 螺旋线与平面的交点。 3.3问题求解 将采用多种方法求螺旋线与平面的交点坐标，包括二分法、迭代 法和弦截法等

实验3 螺旋线与平面的交点 3.1 实验目的 本次实验目的在于使学生能够借助于计算机,利用数学软件解决 一些具体的非线性方程的求根问题。 3.2 实验内容 螺旋线与平面相交的情况多种多样，根据螺旋线与平面方程的不 同可以相交，也可以不相交。在相交的情况下，可以交于一点，也可 以交于好多点。对于各种相交的情况，要求其交点的坐标并不是一件 容易的事。本次实验就以此为背景讨论几种方程求根方法。以下面的 具体问题为例：已知螺旋线的参数方程为 x = 4cos , y = 4sin  , z = , 0   8 , 平面的方程为 x + y + 0.5z − 2 = 0 , 求该 螺旋线与平面的交点。 3.3 问题求解 将采用多种方法求螺旋线与平面的交点坐标，包括二分法、迭代 法和弦截法等

将螺旋线的参数方程代入平面方程后可得：4c0s0+4sin0+0.50-2=0 等价变形得4c0s0+4sin0=2-0.50, luoxuanxianyuzhixian.m theta=0:0.01:8*pi; y1=4*(cos(theta)+sin(theta)); y2=2-0.5*theta; plot(theta,y1,theta,y2) 6 Matlab 8 10 从图形可见在0≤0≤8π内直线 -12 0 5 10 15 20 25 30 与三角曲线有4个交点

将螺旋线的参数方程代入平面方程后可得： 4cos + 4sin + 0.5 − 2 = 0 等价变形得 4cos + 4sin = 2−0.5 ， 0 5 10 15 20 25 30 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 luoxuanxianyuzhixian.m theta=0:0.01:8*pi; y1=4*(cos(theta)+sin(theta)); y2=2-0.5*theta; plot(theta,y1,theta,y2) 从图形可见在 0   8 内直线 与三角曲线有4个交点。 Matlab

(1)区间二分法

(1) 区间二分法

(1)区间二分法 定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,则 f(x)=0在区间内至少有一个根

(1) 区间二分法 定理：若函数 f (x) 在区间[a, b]上连续, 且 f (a) f (b)  0 , 则 f (x) = 0 在区间内至少有一个根

(1)区间二分法 定理：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)0 al ] f3a4)=0f3a4)>0f30+)0 f2)0 H 8

(1) 区间二分法 定理：若函数 f (x) 在区间[a, b]上连续, 且 f (a) f (b)  0 , 则 f (x) = 0 在区间内至少有一个根。 [ ] a b f (a)  0 f (b)  0 .][ ) 0 2 ) 0 || ( 2 ) 0 || ( 2 (  +  + = + a b f a b f a b f [ [ ] ] ] . . . ) 0 2 (  a + b f ][ ][ ][ f (a)  0 ) 0 4 3 ) 0 || ( 4 3 ) 0 || ( 4 3 (  +  + = + a b f a b f a b f ) 0 4 3 (  a + b f ) 0 2 (  a + b f ) 0 8 5 3 ) 0 || ( 8 5 3 ) 0 || ( 8 5 3 (  +  + = + a b f a b f a b f [ ) 0 4 3 (  a + b f ) 0 8 5 3 (  a + b f

取每火二分小区间的中点可得一个收敛序列{化片，该实教序列的极 就是方程的根。即lmXm=xo n-→+00 -a

取每次二分小区间的中点可得一个收敛序列   n i i x =1 ，该实数序列的极 就是方程的根。即 * lim x x n n = →+ 。 n n b a x x 2 * − −  若要求精度 −   n x x * ，则要做等分区间的次数至少是： log 2 +1       −  b a

erfengfaqiujie.m a=5;b=6,x1=a,x2=b: while abs(x1-x2)>0.000001 x3=(x1+x2)/2: f3=4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3-2; if f3~=0 f1=4*cos(x1)+4*sin(x1)+0.5*x1-2; .12 f2=4*cos(x2)+4*sin(x2)+0.5*x2-2; 10 20 25 30 if fl*f30 执行结果为：x3=5.37587451934814 该点的近似坐标为： (2.46346668293075,-3.15140157740808,5.37587451934814) continue

0 5 10 15 20 25 30 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 ★ 计算 5   6 内的交点 Matlab 实际上： f (5) = -2.20104835679965 f (6) = 3.72301915380576 f ( ) = 4(cos − sin  ) + 0.5  0 erfengfaqiujie.m a=5;b=6;x1=a;x2=b; while abs(x1-x2)>0.000001 x3=(x1+x2)/2; f3=4*cos(x3)+4*sin(x3)+0.5*x3-2; if f3~=0 f1=4*cos(x1)+4*sin(x1)+0.5*x1-2; f2=4*cos(x2)+4*sin(x2)+0.5*x2-2; if f1*f3<0 x2=x3; else x1=x3; end end end x3 执行结果为：x3 =5.37587451934814 该点的近似坐标为： （2.46346668293075，-3.15140157740808，5.37587451934814） 查看图形 continue

30 25 20 15 10 0 0 -2 y -4 X Matlab back

back -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 0 5 10 15 20 25 30 x轴 y轴 z轴 Matlab

(2)牛顿选代法 设方程f(x)=0有实数根，若能够将方程等价地转化成X=8(x), 取一个初始值X0代入x=8(x)的右端算得X1=8(X),依次再计算 X2=g(x),类推可得序列x’ +0 k+1=8(xk),k=0,12,. 称此序列为由迭代函数8(X)产生的迭代序列，X。为迭代初始值。 若该迭代序列收敛，则它的极限就是方程∫(x)=0的一个根。Xk 称为方程根的k次近似值.称使得迭代法收敛的初始值的取值范围为迭 代收敛域。 图示点击 例3.1容易验证方程x2+X-3=0有两个不相等的实数根。 输入MATLAB软件命令solv(x2+X-3=0)执行结果为： ans=【-1/2+1/2*13^(1/2] [1/2-1/2*13(1/2)] 该方程可等价地转化为X=3一x2,由此而决定的迭代格式为 Xk41=3-x2,k=0,12,3 continue

(2) 牛顿迭代法 设方程 f (x) = 0 有实数根，若能够将方程等价地转化成 x = g(x) ， 取一个初始值 0 x 代入 x = g(x) 的右端算得 ( ) 1 0 x = g x ，依次再计算 ( ) 2 1 x = g x ，类推可得序列 ( ) k 1 k x = g x + ， k = 0,1,2,    + k k=1 x ， 称此序列为由迭代函数 g(x) 产生的迭代序列， 0 x 为迭代初始值。 若该迭代序列收敛，则它的极限就是方程 f (x) = 0 的一个根 。 k x 称为方程根的k次近似值.称使得迭代法收敛的初始值的取值范围为迭 代收敛域。 图示点击 例3.1 容易验证方程 3 0 2 x + x − = 有两个不相等的实数根。 输入MATLAB软件命令solve(‘x^2+x-3=0’) 执行结果为： ans = [ -1/2+1/2*13^(1/2)] [ -1/2-1/2*13^(1/2)] 该方程可等价地转化为 2 x = 3 − x ，由此而决定的迭代格式为 2 k 1 3 k x = − x + ，k = 0,1,2,3 continue

y=x y=g(x) back

y = x y = g(x) 0 x 1 x2 x back