《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第七章 参数估计

第七章参数估计 §1点估计 §1点估计 设总体X的分布函数F(x;O)的形式为己知，是待估参数。 X1.Xn是X的一个样本，x.xn是相应的样本值。 点估计问题： 构造一个适当的统计量(X1,.,Xn),用它的观察值 (x1,.,xn)来估计未知参数0。 我们称(X1,.,Xn)为的估计量：称0(x1,.,xn) 为0估计值。 [合】返回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 §1 点估计 设总体X的分布函数F(x; )的形式为已知，是待估参数。 X1 Xn 是X的一个样本，x1 xn 是相应的样本值。 点估计问题： 来估计未知参数 。 构造一个适当的统计量 ，用它的观察值    ( , , ) ˆ ( , , ) 1 1 n n x x X X   为 估计值。 我们称 为 的估计量；称    ( , , ) ˆ ( , , ) 1 n 1 n X  X x  x 返回主目录

第七章参数估计 1.矩估计法 §1点估计 设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x;O,.,0k), X为离散型随机变量，其分布列为P{X=x}=P(x;01,.,Ok) 其中01，.，Ok是待估参数，X1,.,Xm为来自X的样本。 设EX=41,1=1,2,.,k.存在。 A= 则 n i=l 令A=41,1=1,.,k 这里是包含k个未知参数0，0的联立方程组， 从中解出方程组的解0，0。 用0，.，0分别作为0，.，0的估计量，这种求 估计量的方法称为矩估计法。 合】返回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 1. 矩估计法 { } ( ; , , ), ( ; , , ), 1 1 k k X P X x P x X f x       为离散型随机变量，其 分布列为 = = 设 为连续型随机变量，其 概率密度为 其中1 ,  , k 是待估参数,，X1 ,  , Xn 为来自X的样本。 设 EXl = l ,l =1,2,  ,k.存在。 = = n i l l Xi n A 1 1 则 A l k l l 令 =  , = 1,  , 从中解出方程组的解 ， ， 。 这里是包含 个未知参数 ， ， 的联立方程组， k k k     ˆ ˆ 1 1   估计量的方法称为矩估计法。 用 ˆ 1 ，， ˆ k 分别作为1 ，， k 的估计量，这种求 返回主目录

第七章参数估计 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。 例1设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 参数为2的泊松分布，未知，有以下样本值： 试估计参数入（用矩法）。 着火的次数飞 0 123456 发生k次着火天数nk75905422621∑=250 解：4=EX=24=1∑X,=X 令x=, i= 则元== (0×75+1×90+.+6×1)=1.22 250 合返回主目录

第七章 参数估计 这种估计量称为矩估计量；矩估计量的观察值 称为矩估计值。 例 1 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 试估计参数 （用矩法）。 参数为 的泊松分布， 未知，有以下样本值；    75 90 54 22 6 2 1 = 250 0 1 2 3 4 5 6 nk k k 发生 次着火天数 着火的次数 = = = = = n i Xi X n EX A 1 1 1 1 解：   (0 75 1 90 6 1) 1.22 250 1 ˆ , = =  +  + +  = = x  X   则 令 返回主目录

第七章参数估计 所以灭=元，估计值元=1.22。 §1点估计 例2.设总体X~U[a,b],a,b未知；X1,.,Xn是一个 样本 求：a,b的矩估计量。 解：4=EX=a+b =EX2=Dr+(EX)2=(6-2+(Q+b)2 12 4 令 生=4∑ -@+a+=4=2 1 4 合返回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 所以 X = , 估计值 ˆ = 1.22。 样本； 例2. 设总体X ~ U[a,b], a,b未知；X1 ,, Xn 是一个 求：a,b的矩估计量。 , 2 1 a b EX + 解：  = = = = = + n i Xi n A a b 1 1 1 2 令 = = = + + − n i Xi n A b a a b 1 2 2 2 2 1 4 ( ) 12 ( ) 4 ( ) 12 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 b a a b EX DX EX + + −  = = + = 返回主目录

第七章参数估计 §1点估计 即a+b=24,b-a=V12(42-4) =-运-空-对 6=4+d-2对 [合】返回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 2 , 12( ) 2 即 a + b = A1 b − a = A2 − A1   = = = + − = + − = − − = − − n i i n i i X X n b A A A X X X n a A A A X 1 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 ( ) 3 3( ) ˆ ( ) 3 解得：ˆ 3( ) 返回主目录

第七章参数估计 例3.设总体X的均值山，方差o都存在，且σ2>0， 但山，o2未知，又设X1,.,Xn是一个样本； 求：4，o2的矩估计量 解：4=EX=4, 42=EX2=DX+(EX)2=o2+2 令41=A,2=A2, 即u=A,σ2+2=4， 所以=A,=X, =4-4-n∑好-2-2x- 合】返回主目录

第七章 参数估计 但 ， 未知，又设 是一个样本； 例 设总体 的均值 ，方差 都存在，且 X Xn X , , 3. 0, 1 2 2        求：, 2 的矩估计量。 2 2 2 2 2 1 ( ) ,      = = + = + = = EX DX EX 解： EX , , 令 1 = A1  2 = A2 , , 2 2 2 即  = A1  +  = A ˆ , 所以  = A1 = X 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) 1 1 ˆ X X n X X n A A n i i n i = − =  i − =  − = =  返回主目录

第七章参数估计 特别，若X~N(4,o2),4,o2未知； §1点估计 则立=元2=1∑(x-0 2.极大似然估计法 (1)若总体X属离散型，其分布律P{X=x}=p(x;O),0∈⊙ 的形式为已知，为待估参数，⊙是可能取值的范围。 设X1,.,Xn是来自X的样本；则X1,.,Xn的联合分布律 Πpx;0) i=l 又设1，xn是X1,Xn的一个样本值： 易知样本X1,Xn取x1,.,xn的概率，亦即 事件{X1=x1,.,Xm=xn}发生的概率为：图遇回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 特别，若 X ~ N(, 2 ), , 2 未知； = = = − n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 则 ˆ , ˆ 2. 极大似然估计法 的形式为已知， 为待估参数， 是 可能取值的范围。 若总体 属离散型，其分布律      (1). X P{X = x} = p(x; ),  设X1 ,  , Xn 是来自X的样本；则X1 ,  , Xn 的联合分布律： = n i i p x 1 ( ; ) 又设x1 ,  , xn 是X1 ,  , Xn 的一个样本值； 事件 发生的概率为： 易知样本 取 的概率，亦即 { , , } , , , , 1 1 1 1 n n n n X x X x X X x x =  =   返回主目录

第七章参数估计 §1点估计 (0)=L(x1,xn0)=门px;0,0∈O1.i 它是的函数。L(O)称为样本的似然函数 由极大似然估计法：固定x1,.,xn;挑选使概率 L(x1,.,xnO)达到最大的参数0，作为的估计值， 即取0使得： L(x1,xn;0)=maxL(x1,.,xn;0)(1.2) 0∈⊙ 与x1,.,xn有关，记为8(x1,.,xn)月 称其为参数的极大似然估计值。 0(X1,.,Xn)称为参数的极大似然估计量

第七章 参数估计 §1 点估计 ( ) ( , , ; ) ( ; ), . (1.1) 1 = 1 =  =     n i n i L L x  x p x 它是的函数。L()称为样本的似然函数。 即取 使得： 达到最大的参数 ，作为 的估计值， 由极大似然估计法：固 定 挑选使概率     ˆ ˆ ( , , ; ) , , ; 1 1 n n L x x x x   ) max ( , , ; ) (1.2) ˆ ( , , ; 1  1   n n L x  x L x  x  = 称其为参数 的极大似然估计值。 与 有关，记为    ( , , ); ˆ , , ˆ 1 n 1 n x  x x  x  ˆ (X1 ,, Xn )称为参数的极大似然估计量

第七章参数估计 §1点估计 (2).若总体X属连续型，其概率密度f(x;0),0∈⊙ 的形式已知，为待估参数： 则X1,.,Xn的联合密度： fx,0) i=l 设x1,.,xn是相应X1,.,Xn的一个样本值，则随 机点(X1,.,Xn)落在(1，.，xn)的邻域（边长分别为 dk1,.,dn的n维立方体)内的概率近似为： Πf(x:8 (1.3) i=1 我们取的估计值0，使概率(1.3)取到最大值

第七章 参数估计 §1 点估计 ; (2). ( ; ), 的形式已知， 为待估参数 若总体 属连续型，其概率密度  X f x    则X1 ,  , Xn 的联合密度： = n i i f x 1 ( ; ) 的 维立方体）内的概率近 似为： 机点 落在 的邻域（边长分别为 设 是相应 的一个样本值，则随 d x d x n X X x x x x X X n n n n n , , ( , , ) ( , , ) , , , , 1 1 1 1 1      ( ; ) (1.3) 1 i n i  f xi dx =  我们取的估计值 ˆ ，使概率(1.3)取到最大值

第七章参数估计 但d;不随而变，故只需考虑： §1点估计 0=1(x,xn0)=Πfx:0, (1.4) 的最大值，这里()称为样本的似然函数 若 L1x0)=max L(1) 0∈O 则称(x1,.,xn)为的极大似然估计值。 称(X1,.,Xn)为的极大似然估计量。 般，p(x;0),f(x;0)关于可微，故0可由下式求得： dL(e 2=0. do 合】返回主目录

第七章 参数估计 §1 点估计 但 不随而变，故只需考虑： i dxi ( ) ( , , ; ) ( ; ), (1.4) 1 1 = = = n i n i L  L x  x  f x  的最大值，这里L()称为样本的似然函数。 ) max ( , , ; ) ˆ ( , , ; 1  1   n n L x  x L x  x  若 = 则称 ˆ (x1 ,, xn )为的极大似然估计值。 称 ˆ (X1 ,, Xn )为的极大似然估计量。 0. ( ) ( ; ), ( ; ) =       d d L 一般，p x f x 关于 可微，故 可由下式求得： 返回主目录