《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第五章 矩阵的对角化问题（3/3）

四.实对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=人 更可找到正交矩阵T,使得T-AT=人 定理1：实对称矩阵的特征值为实数 证：设九是A的任一特征值，（往证入=九) a是对应于入的特征向量， 则Aa=2a,(a≠0) 设C= X2 Xn 用入表示入的共轭复数，α表示0的共轭复向量

四. 实对称矩阵的对角化 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 1 P AP − =  更可找到正交矩阵 ，使得 1 T AT − T =  定理1：实对称矩阵的特征值为实数. 证：设  是 A 的任一特征值，（往证   = ）  是对应于  的特征向量， 则 A   =  , ( 0) 设 1 2 n x x x      =         用  表示  的共轭复数， 表示 的共轭复向量

则Aa=a=元.a (1) 又A是实对称矩阵，.A=A且AT=A. ∴.A=Aa=Aa (2) 由(1)2)有入·a=A·a，等号两边同时左乘a1 左边=a.(几·a)=元a.a 右边=ax.(A)=aT·AI.a=(A)T.a =(2a)T.a=2·ar.a 元a.au=1.a 即（元-2）T·a=0

则 A    = =  (1) 又 A 是实对称矩阵，  = A A 且 . T A A =  =   A A A    = (2) 由(1)(2)有      = , A 等号两边同时左乘 T  左边 ( ) T T =   =         右边 ( ) ( ) ( ) T T T T T T       A A A      =   =   =  =  =   T T    =         即 ( ) 0 T     −   =

考虑 a=(X13X2,.,xn) 3 =X1X1+X2·X2+.+Xn·Xm =x2+,2+xn2>0 :.元-λ=0.见=见 (.a≠0) 即兄为实数。 定理1的意义： 因为对称矩阵A的特征值入，为实数，所以齐次线性方程组 (A-2,E)x=0是实系数方程组。 又因为A一几，E=0,可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量

考虑 1 2 1 2 ( , , , ) T n n x x x x x x         =         1 1 2 2 n n =  +  + +  x x x x x x 2 2 2 1 2 0 n = + +  x x x( 0)    − =   0  =   即  为实数。 定理1的意义： 因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组 又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 A i ( ) 0 A E x − = i 0 A E − = i 是实系数方程组

定理2：实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量正交。 证：设人，入，是对称矩阵A的两个特征值，且入≠入2， P1,P2是依次与之对应的特征向量。 则Ap1=元P1,Ap2=九2P2,(21≠2) A为实对称矩阵，.AI=A 考虑p,T=(P)'=(Ap,)=pA=pA, 于是pP2=pAP2=p·(p)=·pp2, ∴.(2-2)pP2=0. 1≠2，.pP2=0.(,P2)=p1p2=0 即P1,P2正交

定理2：实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 1 2 p p, 是依次与之对应的特征向量。 证：设   1 2 , 是对称矩阵 A 的两个特征值，且 1 2    , 则 1 1 1 2 2 2 1 2 Ap p Ap p = =      , , ( ) 1 1 , T T T = = p A p A 于是 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) T T T   p p p A p p p =  =  2 1 2 , T =   p p ( 1 2 1 2 ) 0. T  −  =   p p , 1  2 1 2 0. T  = p p A 为实对称矩阵， T  = A A 1 1 1 1 1 ( ) ( ) T T T 考虑   p p Ap = = 1 2 1 2 ( , ) 0 T  = = p p p p 即 p p 1 2 , 正交

定理3：A为n阶实对称矩阵，2。是A的k重特征值， 则对应于孔的特征向量中，线性无关的向量的个数为k, 结论即 即(A-2,E)X=0的基础解系所含向量个数为k. (则k=n-r(A-2E),∴.r(A-,E)=n-k.) 定理4：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n阶实对称矩阵A, 一定存在n阶正交矩阵T,使得T-AT=人. 其中人是以A的n个特征值为对角元素的对角阵

定理3： A 为 n 阶实对称矩阵， 0 是 A 的 k 重特征值， 即 的基础解系所含向量个数为 k. 0 ( ) 0 A E X − =  则对应于 0 的特征向量中，线性无关的向量的个数为 k, 0 （则 k n r A E = − − ( ),   − = − r A E n k ( ) . 0 ） 知 道 结 论 即 可 定理4：(实对称矩阵必可对角化) 对于任一 n 阶实对称矩阵 A ， 一定存在 n 阶正交矩阵 T, 使得 1 T AT . − =  其中  是以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角阵

证：设实对称阵A的互不相等的特征值为人，入2，.，入， 它们的重数依次为，"2，.，广 则+乃2+.+r=n 由定理，特征值入，（重数为'：）对应的线性无关的 特征向量为个。 把它们正交化，再单位化，即得个单位正交的特征向量。 .'+3+.+r=n 所以，可得这样的单位正交向量n个

证：设实对称阵 A 的互不相等的特征值为 1 2 , , ,   s 它们的重数依次为 1 2 , , , s r r r 则 1 2 s r r r n + + + = 由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的 特征向量为 个。 i i r i r 把它们正交化，再单位化，即得 ri 个单位正交的特征向量。 1 2 s r r r n + + + = 所以，可得这样的单位正交向量 n 个

又，‘A是实对称阵， '.不同特征值对应的特征向量正交， .上面得到的n个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵T,有 T-1.AT=T-1.TΛ=Λ 其中△的对角元素含有个2 3个元2 .r,个人、恰是A的n个特征值

又 A 是实对称阵，  上面得到的 n 个单位特征向量两两正交。 以它们为列向量构成正交矩阵 T ，有 1 1 T AT T T − −  =   =   不同特征值对应的特征向量正交， 其中  的对角元素含有 r1 个 1 2 r 个 2 s r 个  s 恰是 A 的 n 个特征值

求正交矩阵T,把实对称矩阵A化为对角阵的方法： 1.解特征方程A-2E=0, 求出对称阵A的全部不同的特征值。 2.对每个特征值2，求出对应的特征向量， 即求齐次线性方程组(A一几，E)X=0的基础解系。 3.将属于每个入，的特征向量先正交化，再单位化。 这样共可得到n个两两正交的单位特征向量刀1，门2，.，7m 4.以71,72，.，1m为列向量构成正交矩阵T=(71,门2，.，7m) 有T-AT=人

求正交矩阵 T ，把实对称矩阵 A 化为对角阵的方法： 1. 解特征方程 A E − =  0, 求出对称阵 A 的全部不同的特征值。 即求齐次线性方程组 ( ) 0 A E X − = i 的基础解系。 3. 将属于每个 i 的特征向量先正交化，再单位化。 2. 对每个特征值 i ，求出对应的特征向量， 这样共可得到 n 个两两正交的单位特征向量 1 2 , , ,   n 4. 以    1 2 , , , n 为列向量构成正交矩阵 1 2 ( , , , ) T =   n 有 1 T AT − = 

( 即T-1.AT=Λ= 必须注意：对角阵中人，22，.，入的顺序 要与特征向量71,72，.，7m的排列顺序一致

即 1 1 1 r r T AT     −            =  =           必须注意：对角阵中    1 2 , , , n 的顺序 1 2 , , , 要与特征向量   n 的排列顺序一致

3 24 例1：设A= 202, 求正交矩阵T, 423 使得TAT为对角阵。 3-λ2 4 解：A-九E=2 -λ2 423- =(2+1)(2-8)=0 .九1=九2=-1，入3=8

例1：设 3 2 4 2 0 2 , 4 2 3 A     =       求正交矩阵 T ， 1 T AT 使得 − 为对角阵。 解： 3 2 4 2 2 4 2 3 A E     − − = − − ( ) ( ) 2 = + −   1 8 = 0 1 2 3  = = − =    1, 8