《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第二章 矩阵（4/4）

1.矩阵的初等变换 五.矩阵的初等变换与初等矩阵 2.初等矩阵 3.用初等变换求可 1.矩阵的初等变换 逆矩阵的逆矩阵 什么是初等变换？ 线性方程组的一般形式 011X1+012X2+ .+01nXm= 21+02X2+.+2nxn b2 0m1X1+Lm2X2+.+amXn=

1 1. 矩阵的初等变换 线性方程组的一般形式        + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b        1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 什么是初等变换? 五. 矩阵的初等变换与初等矩阵 1.矩阵的初等变换 2.初等矩阵 3.用初等变换求可 逆矩阵的逆矩阵

用矩阵形式表示此线性方程组： L11 12 21 22 020 X2 b, ● b mn m 令A=()mn 七2 b2 X= b= Xn 则，线性方程组可表示为 Ax=b 2

2 用矩阵形式表示此线性方程组： 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b                   =                   令 1 2 n x x x x     =         1 2 m b b b b     =         ( ij)m n A a  = 则，线性方程组可表示为 Ax b =

如何解线性方程组？可以用消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： (1)交换方程次序； (2)以不等于0的数乘某个方程； (3)一个方程加上另一个方程的k倍. 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换. 3

3 如何解线性方程组？ 可以用消元法求解。 始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换： （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变 换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数 进行运算，未知量并未参与运算. 若记 11 l12 b B=(Ab)= 21 l22 : ml mn 则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B方程组的增广矩阵)的变换

4 若记 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ( ) n n m m mn m a a a b a a a b B A b a a a b     = =         则对方程组的变换完全可以转换为 对矩阵B（方程组的增广矩阵）的变换． 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数 进行运算，未知量并未参与运算．

即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算： 统称为矩阵的 (1)对调矩阵的两行。 初等行变换 (2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。 (③)将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。 5

5 即，求解线性方程组实质上是对增广矩阵施行 3种初等运算： (1) 对调矩阵的两行。 (2) 用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素。 (3) 将矩阵的某一行所有元素乘以非零常数k后 加到另一行对应元素上。 统称为矩阵的 初等行变换 

定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换： (①)对调两行（对调，两行，记作分)； (2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(（第j行的k倍加到第i行上 记作+k灯). 同理可定义矩阵的初等列变换把“换成 “c). 6

6 定义1：下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 同理可定义矩阵的初等列变换 (把“r”换成 “c”)．

矩阵的初等变换 刀筝子芝焕 刀李交奂 通常称(1)对换变换(2)倍乘变换(3)倍加变换 初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相 同. →1；逆变换分r; 片×k逆变换h×()或÷k: +k逆变换+(-k)r或-k灯 7

7 矩阵的初等变换    初等列变换 初等行变换 通常称 (1) 对换变换 (2) 倍乘变换 (3) 倍加变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相 同． i j r  r ri  k 逆变换 ; i j r  r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri  或 i  i krj r + 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −

定义2：如果矩阵A经有限次初等变换变矩阵B, 就称矩阵A与B等价，记作A~B. 等价关系的性质： ()反身性A台A; (2)对称性若A台B,则B台A; (3)传递性若A台B,B台C,则A台C. 具有上述三条性质的关系称为等价. 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价

8 等价关系的性质： （1） 反身性 A  A； （2） 对称性 若 A  B ,则 B  A; （3）传递性 若 A  B,B  C,则 A  C. 就称矩阵 与 等价，记作 ． 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩 阵 ， A B A B A B ~ 具有上述三条性质的关系称为等价． 例如，两个线性方程组同解， 就称这两个线性方程组等价 定义2：

2.初等矩阵 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛， 定义3：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵， 「1.对调两行或两列； 2.以数k≠0乘某行或某列； 3.以数k乘某行（列）加到另一行（列)上去. 9

9 定义3：由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. E 三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.       以数 乘某行（列）加到另一行（列）上去． 以数 乘某行或某列； 对调两行或两列； k k 3. 2. 0 1. 2. 初等矩阵

(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵。 对调E中第，j两行，即（分），得初等方阵 ←第i行 E(i,j)= ←第j行 10

10 对调 E 中第 i, j 两行，即(ri  rj )，得初等方阵                                   = 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 ( , )        E i j  第 i 行  第 j 行 (1) 对调两行或两列，得初等对换矩阵