《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第五章 矩阵的对角化问题（2/3）

二.相似矩阵的定义及性质 定义：设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得 PAP=B 则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵， 或称矩阵A与矩阵B相似，记作A~B 对A进行运算P一1AP称为对A进行相似变换， 可逆矩阵P称为把矩阵A变成矩阵B的相似变换矩阵。 注：矩阵相似是一种等价关系 (1)反身性：A~A. (2)对称性：若A~B则B~A. (3)传递性：若A~B,B~C,则A~C

1 二. 相似矩阵的定义及性质 定义: 设 A B, 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵 P ，使得 1 P AP B − = 则称矩阵 B 是矩阵 A 的相似矩阵， 对 A 进行运算 P AP －1 称为对 A 进行相似变换， 可逆矩阵 P 称为把矩阵 A 变成矩阵 B 的相似变换矩阵。 或称矩阵 A 与矩阵 B 相似，记作 A B 注：矩阵相似是一种等价关系 （1）反身性： A A. （2）对称性：若 A B 则 B A. （3）传递性：若 A B B C , , 则 A C

性质1：相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 推论：若矩阵Awm与对角阵人= 相似， 入m》 则元1，元2，.，元n是A的n个特征值。 2

2 性质1: 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、 相同的行列式、相同的迹、相同的秩 推论：若矩阵 A n n 与对角阵 相似， 1 2 n         =         则    1 2 , , , n 是 A 的 n 个特征值

其它的有关相似矩阵的性质：（介绍) (1)相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 (2)若A与B相似，则kA与kB相似。（k为正整数) (3)若A与B相似，则Am与Bm相似。(m为正整数) (4)若A与B相似，而f(x)是一个多项式， 则f(A)与f(B)相似。 (5)P(4)P=(PAP)(P-AP). (6)P(kA+kA)P=kPAP+kPAP (k,k,为任意常数)

3 (1) 相似矩阵或者都可逆，或者都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 其它的有关相似矩阵的性质：（介绍） (3) 若 A 与 B 相似，则 A m 与 B m 相似。（ m 为正整数） ( ) ( )( ) 1 1 1 1 2 1 2 P A A P P A P P A P . − − − (5) = ( ) 1 1 1 P k A k A P k P A P k P A P 1 1 2 2 1 1 2 2 − − − (6) + = + （k k 1 2 , 为任意常数） (2) 若 A 与 B 相似，则 kA 与 kB 相似。（ k 为正整数） (4) 若 A 与 B 相似，而 f x( ) 是一个多项式， 则 f A( ) 与 f B( ) 相似

注：（1)与单位矩阵相似的阶矩阵只有单位阵E本身， 与数量矩阵kE相似的阶方阵只有数量阵kE本。 书p136例5.2.1 (2)有相同特征多项式的矩阵不一定相似。 三.矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对n阶方阵A,如果可以找到可逆矩阵P, 使得PAP=人为对角阵，就称为把方阵A对角化。 4

4 （2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。 注： （1）与单位矩阵相似的n阶矩阵只有单位阵E本身， 与数量矩阵kE 相似的n阶方阵只有数量阵kE本。 书p136 例5.2.1 三. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化） 对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵 P ， 使得 P AP −1 =  为对角阵，就称为把方阵 A 对角化

定理1：n阶矩阵A可对角化（与对角阵相似) 台A有n个线性无关的特征向量。 推论：若n阶方阵A有n个互不相同的特征值， 则A可对角化。（与对角阵相似）（逆命题不成立） 注：(1)若A~人，则人的主对角元素即为A的特征值， 如果不计的排列顺序，则A唯一，称之为 矩阵A的相似标准形。 (2)可逆矩阵P由A的n个线性无关的特征向量 作列向量构成。 5

5 定理1： n 阶矩阵 A 可对角化（与对角阵相似）  A 有 n 个线性无关的特征向量。 （2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量 作列向量构成。 P A n (逆命题不成立) 推论：若 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值, 则 A 可对角化。（与对角阵相似） 注：（1）若 A , 则  的主对角元素即为 A 的特征值， 矩阵 A 的相似标准形。 k 如果不计 的排列顺序，则  唯一，称之为

例1：判断下列实矩阵能否化为对角阵？ -22 2 -1 2 (1)A= -2 -2 4 (2)A= 5 -3 3 24-2 -1 0 -2 解： 1-2 -2 2 (1)川A-元E到= -2 -2-九 4 2 4 -2- =-(2-22(2+7）=0 得九1=儿2=2，人3=-7 6

6 例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A   −   = − −       − 2 1 2 (2) 5 3 3 1 0 2 A   −   = −       − − 解: ( 2) ( 7) 2 = −  −  + = 0 1 2 2 (1) 2 2 4 2 4 2 A E     − − − = − − − − − 得 1 2 3    = = = − 2, 7

当21=22=2时，齐次线性方程组为(A-2E)X=0 -1 -2 (A-2E)= -4 24 x,=-2x+2x3(-2 2 得基础解系卫1= 1= 0 1 当23=-7时，齐次线性方程组为(A+7E)X=0 8-2 2 (A+7E)= -2 5 24 7

7 得基础解系 1 2 2 2 1 , 0 . 0 1 p p     −     = =             当   1 2 = = 2 时，齐次线性方程组为 ( A E X − = 2 0 ) ( ) 1 2 2 2 2 4 4 2 4 4 A E   − −   − = − −       − 1 2 2 0 0 0 0 0 0   − →         1 2 3 x x x = − + 2 2 当 时，齐次线性方程组为 ( A E X + = 7 0 ) 3  = −7 ( ) 8 2 2 7 2 5 4 2 4 5 A E   −   + = −      1 1 0 2 0 1 1 0 0 0     →          

X1=一 3 1 2 得基础解系P3= X2=一X3 -2 -2 21 1 02≠0 01 -2 ∴.P1,P2,P3线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。 8

8 得基础解系 3 1 2 2 p     =       − 1 3 2 3 1 2 x x x x   = −   = −  2 2 1 1 0 2 0 0 1 2 −  − 1 2 3  p p p , , 线性无关 即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化

2-2 -1 2 A -3 -2 (2)A-元E= 5 -3-2 3 -1 0 -2-2 =-(1+1)3=0.1=2=元=-1. 当人1=人2=入3=-1时，齐次线性方程组为(A+E)X=0 -8日 1 得基础解系 5= -1 所以A不能化为对角矩阵， 1 9

9 2 1 2 (2) 5 3 3 1 0 2 A E     − − − = − − − − − ( ) 3 = − + =  1 0 2 1 2 5 3 3 1 0 2 A   −   = −       − − 得基础解系 1 1 , 1    −   = −      所以 A 不能化为对角矩阵. 1 2 3  = = = −    1. 当 时，齐次线性方程组为 ( A E X + = ) 0 1 2 3    = = = −1 ( ) 3 1 2 5 2 3 1 0 1 A E   −   + = −       − − 1 0 1 0 1 1 000   →        

6 0 例2：设A= -3 -5 0 ·问A能否对角化？ -3-61 若能对角化，求出可逆矩阵P使得PAP为对角阵。 4-2 6 0 解：A-九E= -3 -5-λ 0 -3 -61-2 =-(-1)2(2+2)=0 .九1=22=1，儿3=-2. 10

10 解： 4 6 0 3 5 0 3 6 1 A E     − − = − − − − − − ( ) ( ) 2 = − − + =   1 2 0 例2：设 4 6 0 3 5 0 . 3 6 1 A     = − −       − − 若能对角化，求出可逆矩阵 P 使得 P AP −1 为对角阵。 问 A 能否对角化？ 1 2 3  = = = −    1, 2