《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第五章 大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 §1大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性， 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 定义1： 设Y1,.,Yn,. 是随机变量序列，a是一个常数； 若对任意g>0,有：lim P(lyn-ake}=1 则称Y1,.,Yn,.依概率收敛于a,记为YnP→a。 定义 设X,X.是随机变量序列，令y,=之X， n k= 若存在常数序列a,.,an,.使对任意>0，有 lim pfly-a =1,lim p(ly -a=0, 则称X,}服从大数定律。 合】返回主目录

§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 §1.大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性， 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 设X1 ,, Xn , 是随机变量序列，令 = = n k n Xk n Y 1 1 ， 若存在常数序列a1 ,,an , 使对任意  0 ，有 lim {| − | } = 1 −  n n n P Y a ，或lim {| − | } = 0 −  n n n P Y a ， 定义1： 设 是随机变量序列， 是一个常数； 若对任意 ，有: 则称 依概率收敛于 ，记为 。 Y1 ,  ,Yn ,    0 lim {| − | } = 1 → P Y a  n n Y1 ,  ,Yn ,  Y a P n ⎯→ a a 定义2： 则称{ } Xn 服从大数定律。 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 定理1：若XnPa,ynPb,g(x,)在点a,)连续， 则：gxn,n)P→ga,)。 定理2（切比晓夫定理的特殊情况） 设随机变量X,.,X,.相互独立，且具有相同的数学 期望及方差，FX=山，DX=o,k=12,令y,=∑X, 则：对任意的e>0,有： 4-水c2x,-水=l 或mPI∑X.-u=0 合返回主目录

§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理 2（切比晓夫定理的特殊情况） 设随机变量 X1 ,, Xn , 相互独立，且具有相同的数学 期望及方差， E Xk = ，DXk =  2 ，k = 1,2,，令 = = n k n Xk n Y 1 1 ， 则：对任意的  0 ，有: | } 1 1 lim {| | } lim {| 1 −  =  −  = = − −     n k k n n n X n P Y P 或 | } 0 1 lim {| 1  −  = = −   n k k n X n P 若 a P Xn ⎯⎯→ ， b P Yn ⎯⎯→ ， 在点 连续， 则： ( , ) g(a,b) P g Xn Yn ⎯⎯→ 。 定理1： g(x, y) (a,b) 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 证：1 (2x,)2x,=之u=A n k=1 n k=1 n k=1 2x)=宫x,=7m=。 n k=1 由切比晓夫不等式得：P1∑X-K≥1 k=1 当n→o时，PI∑X:-u水ke=1。 合】返回主目录

证：  =  =  =  = = = n k n k k n k k n EX n X n E 1 1 1 1 1 ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ) 1 (   n n n DX n X n D n k k n k  k =  = = = = | } 1 1 {| 1 →   −  = =   n k X k n 当n 时，P 。 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由切比晓夫不等式得： 2 2 1 | } 1 1 {|     n X n P n k  k −   − = 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 定理3（贝努里大数定律） §1大数定律 设n4是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A发生的概率， 则：对任意的ε>0，有 lim Pl24-pk=1或lmP1”4-pe}=0 ->d 「0，在第次试验中A不发生 证：令X:=儿，春第次试验中A发生 ，k=1,2,n ,-三，且X儿相互独立同服从于0=1汾布 故EXk=p,DXk=p(1-p),k=1,2,n,. 由定理2有mP1,∑X,-pK}=1 n i= 即 mP1”4-pk=1。此定理说明了频率的稳定性

证：令 k n k A k A Xk 1,2, , 1 0 =     = ， ，在第 次试验中 发生 ，在第 次试验中 不发生 定理 3（贝努里大数定律） 设nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 发生的概率， 则：对任意的  0，有 lim {| − | } = 1 − p  n n P A n 或 lim {| − | } = 0 − p  n n P A n 故 EXk = p，DXk = p(1− p)，k = 1,2,  ,n,  | } 1 1 lim {| 1  −  = = − X p  n P n i i n , §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理2有 即 lim {| − | } = 1 − p  n n P A n 。此定理说明了频率的稳定性。 则 = = n k nA Xk 1 ，且X Xn , , 1  相互独立同服从于( 0 −1)分布

第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 定理4（辛钦大数定律） 设X,X,.相互独立同分布，且具有 数学期望EX=4,k=1,2,.,n,., 则：对任意的ε>0，有 lim Pl-Xuk)=1 n->0 n i=l 注：贝努里大数定律是辛饮大数定律的特殊情况。 合】返回主目录

定理 4（辛钦大数定律） 设 X1 ,, Xn , 相互独立同分布，且具有 数学期望EXk = ，k = 1,2,,n,， 则：对任意的  0，有 | } 1 1 lim {| 1  −  = = −   n i i n X n P §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 §2中心极限定理 §2.中心极限定理 定义： 设X,.,Xn,.是独立的随机变量序列， x:Dx存在，令：乙.=空X-x,/2DY, 若对征益eR,有P2,s对克小山 1 则称X}服从中心极限定理。 合返回主目录

§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 §2.中心极限定理 定义： 设 X1 ,, Xn , 是独立的随机变量序列， EX k ，DX k 存在，令：    = = = = − n k k n k k n k Zn Xk E X DX 1 1 1 ( )/ ， 若对任意 R1 x  ，有  − − −  = x t n n P Z x e dt 2 2 2 1 lim { }  。 则称{Xn }服从中心极限定理。 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 §2中心极限定理 定理1（独立同分布的中心极限定理） 设X,X,.是独立同分布的随机变量序 列，且EX=4,DXk=o2≠0，(k=1,2,) 则X,}服从中心极限定理，即： 2x:-nu lim P( no ≤x= e 2dt 7->00 合】返回主目录

§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 （独立同分布的中心极限定理） 设 X1 ,, Xn , 是独立同分布的随机变量序 列，且 0,( 1,2, ) E Xk = ，DXk =  2  k =  则{ } Xn 服从中心极限定理，即：   − − = −  = − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim { }    定理1 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 定理2（李雅普诺夫定理）(Liapunov定理) §2中心极限定理 设X,Xn,.相互独立，且EXk=,DXk=O2≠0， (k=1,2设B=∑o,若存在正数6， k≥1 位得当，→时， ∑E1X-4,P+}→0 k= 则{X,}服从中心极限定理，即： ∑(X-4) limP( n->00 合返回主目录

则{ } Xn 服从中心极限定理，即：    − − = = −  = − x t n k k k n k k n x e dt DX X P 2 1 1 2 2 1 } ( ) lim {   §2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 定理2 （李雅普诺夫定理） ，设 若存在正数 ， 设 相互独立，且 ，     ( 1,2, ) , , , , 0, 1 2 2 2 1 = = = = =  n k n k n k k k k k B X X EX DX    {| | } 0 1 1 2 →  2  − → = + + n k k k n E X B n   使得当 时，  (Liapunov定理) 返回主目录

第五章大数定律及中心极限定理 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理）(De Moivre-Laplace) 设随机变量nm(n=1,2)服从参数为n,p(0 no /2元

证： = = n k n Xk 1  ， 第五章 大数定律及中心极限定理 则对于任意 ，恒有：  − − →  = − x t n n x e dt npq np P 2 2 2 1 lim { }   x (q =1− p) 由定理1有结论成立。 其中X Xn , , 1  相互独立且都服从于 分布。 EXk = p，DXk = pq。 (0-1) 定理3（德莫佛-拉普拉斯定理） (n = 1,2, ) 设随机变量 n 服从参数为n,p(0<p<1)的二 项分布 ~ B(n, p). ，即 n   − − = −  = − x t n k k n x e dt n X n P 1 2 2 2 1 lim { }    (De Moivre-Laplace)

第五章大数定律及中心极限定理 §2中心极限定理 推论： 设随机变量m(n=1,2,)服从参数为n,p(0<p<1)的 二项分布，即nn~B(n,p).当n充分大时有： P{a<,≤b}=Pa-吧<n,-吧sb-吧 npq npg √npq npq npq 说明：这个公式给出了n较大时二项分布的概率 计算方法。 合返回主目录

§2 中心极限定理 第五章 大数定律及中心极限定理 推论： (n = 1,2, ) 设随机变量 n 服从参数为 n , p (0<p<1) 的 二项分布, 当 n 充分大时有： ( ) ( ) { } { } npq a np npq b np npq b np npq np npq a np P a b P n n − −  −   −  −  −   =   说明：这个公式给出了n 较大时二项分布的概率 计算方法。 ~ B(n, p). 即n 返回主目录