重庆工商大学：《经济数学基础》课程教学资源（作业习题）微积分（习题）

经济数学基础 自测练习 (微积分) 基本要求 内容主线 同步练习 自测试题 应用实例 重庆工商大学经济数学教研室

经济数学基础 自测练习 （微积分） 基本要求 内容主线 同步练习 自测试题 应用实例 重庆工商大学经济数学教研室

前言 随者科学技术的不断进步和计算机的迅速发展，人们已普遍地看到了一种历史现象， 数学的应用领域在不断地扩大，它不仅被用来解决日常的生产、生活和社会等领域中的各种 各样的实际问题，而且也在许多学科的理论发展中得到了应用：即数学问题的多样性与数学 应用的广泛性及深入性，己经成为现代科学发展的主要特征。 经济数学基础是财经管理类院校一门核心基础课程，作为培养经济、管理类人才的基 础课教学，既有数学的理论、计算，又有数学在经济中的应用。所以，该门课程的主要任 务是培养学生的数学思维，以及应用数学解决实际中的问题的能力。 但是，在该门课程的长期教学中，普遍存在这样的两个问题：一是由于数学高度的抽 象、严密的逻辑，教材偏重数学理论推导、纯数学的计算，导致学生学习数学产生畏难情 绪：二是由于数学的应用特别是在经济中应用在教材中实例介绍甚少，使学生看不见学习 数学的作用，影响学习兴趣和积极性。 基于上述两个问题，从激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素质和自主学习的 能力，训练学生数学基本功，扩大学生学习数学视野，增加经济数学基础课堂教学信息量， 我们特组织具有丰富教学经验的教师编写了这本学生课后复习、教师教学参考的书籍。 本书特色：1)内容选题上由浅入深，既有各章内容的同步练习和单元总结，又有与考研 究生题型一致的综合自测试题，所以适合学生课后练习、巩固数学知识和作为考硕士生的复 习资料。2)内容选材上并不依赖于哪一套《经济数学基础》教材，所以适合所有经济、管 理类专业的教学学习对象。 本书各章分为以下几个版块 1、基本要求介绍大纲对本章各知识点的要求程度，使学习者把握各章知识要点。 2、内容主线以图表的形式清晰简洁、系统地给出本章的基本概念、性质、定理、公式 等知识结构，使读者对本章知识逻辑关系一目了然，以此提高你学习效率、质量，数学学习 技巧。 3、同步练习按照各章节知识顺序及题目难易程度，体现基本概念、基本计算、基本应 用方法的训练，提供配套的同步练习题及解答，以达到巩固所学数学知识，训练数学基本计 算方法的目的

前 言 随着科学技术的不断进步和计算机的迅速发展，人们已普遍地看到了一种历史现象， 数学的应用领域在不断地扩大，它不仅被用来解决日常的生产、生活和社会等领域中的各种 各样的实际问题，而且也在许多学科的理论发展中得到了应用：即数学问题的多样性与数学 应用的广泛性及深入性，已经成为现代科学发展的主要特征。 经济数学基础是财经管理类院校一门核心基础课程，作为培养经济、管理类人才的基 础课教学，既有数学的理论、计算，又有数学在经济中的应用。所以，该门课程的主要任 务是培养学生的数学思维，以及应用数学解决实际中的问题的能力。 但是，在该门课程的长期教学中，普遍存在这样的两个问题：一是由于数学高度的抽 象、严密的逻辑，教材偏重数学理论推导、纯数学的计算，导致学生学习数学产生畏难情 绪；二是由于数学的应用特别是在经济中应用在教材中实例介绍甚少，使学生看不见学习 数学的作用，影响学习兴趣和积极性。 基于上述两个问题，从激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素质和自主学习的 能力，训练学生数学基本功，扩大学生学习数学视野，增加经济数学基础课堂教学信息量， 我们特组织具有丰富教学经验的教师编写了这本学生课后复习、教师教学参考的书籍。 本书特色：1）内容选题上由浅入深，既有各章内容的同步练习和单元总结，又有与考研 究生题型一致的综合自测试题，所以适合学生课后练习、巩固数学知识和作为考硕士生的复 习资料。2）内容选材上并不依赖于哪一套《经济数学基础》教材，所以适合所有经济、管 理类专业的教学学习对象。 本书各章分为以下几个版块： 1、基本要求 介绍大纲对本章各知识点的要求程度，使学习者把握各章知识要点。 2、内容主线 以图表的形式清晰简洁、系统地给出本章的基本概念、性质、定理、公式 等知识结构，使读者对本章知识逻辑关系一目了然，以此提高你学习效率、质量，数学学习 技巧。 3、同步练习 按照各章节知识顺序及题目难易程度，体现基本概念、基本计算、基本应 用方法的训练，提供配套的同步练习题及解答，以达到巩固所学数学知识，训练数学基本计 算方法的目的

4、自测试题进一步强化解题训练，培养数学的综合运算、应用能力。提供学期结束的 标准模拟考试题及评分标准答案，通过自测检验学习效果。 5、应用实例将数学应用于经济实际中，为你提供一个数学应用的广阔空间，体验感受 到数学就在身边，数学无处不在，无处不有。将进一步激发你学习数学的兴趣、热情，明确 数学学习的重要性、必要性。 全书共分两册。上册：微积分，下册：线性代数与概率统计。微积分部分试题由张义萍 编拟，线性代数部分试题李霄民编拟，概率统计部分试题由郭伟编拟。各章基本要求、内容 主线由夏莉编写，应用实例由王文惠、夏莉选编。试题审查李霄民，总算夏莉，全书由李登 信教授总审。 我们在编写过程中，得到李登信教授的直接指导与大力支持，并参阅了大量的参考文献 和同行们的研究成果，在此，一一表示感谢。 由于我们水平有限，编写时间仓促，错误在所难免，敏请同行和读者批评指正。编者将 虚心听取读者和同行的各种意见，对实践中的问题和建议，将在新的版本中进行认真的修订 与丰富，以达到该书真正成为经济数学基础课程学习的有一定价值的教学、学习参考书。 编者的E-ail:xl@ctbu.edu.cn 编者 05.11

4、自测试题 进一步强化解题训练，培养数学的综合运算、应用能力。提供学期结束的 标准模拟考试题及评分标准答案，通过自测检验学习效果。 5、应用实例 将数学应用于经济实际中，为你提供一个数学应用的广阔空间，体验感受 到数学就在身边，数学无处不在，无处不有。将进一步激发你学习数学的兴趣、热情，明确 数学学习的重要性、必要性。 全书共分两册。上册：微积分，下册：线性代数与概率统计。微积分部分试题由张义萍 编拟, 线性代数部分试题李霄民编拟, 概率统计部分试题由郭伟编拟。各章基本要求、内容 主线由夏莉编写，应用实例由王文惠、夏莉选编。试题审查李霄民，总篡夏莉，全书由李登 信教授总审。 我们在编写过程中，得到李登信教授的直接指导与大力支持，并参阅了大量的参考文献 和同行们的研究成果，在此，一一表示感谢。 由于我们水平有限，编写时间仓促，错误在所难免，敬请同行和读者批评指正。编者将 虚心听取读者和同行的各种意见，对实践中的问题和建议，将在新的版本中进行认真的修订 与丰富，以达到该书真正成为经济数学基础课程学习的有一定价值的教学、学习参考书。 编者的 E—mail：xl@ctbu.edu.cn 编者 05．11

第一部分微积分 第一章函数 基本要求 1.理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。 2.理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。 3.了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。 4,了解反函数的概念：知道函数与其反函数的几何关系：给定函数会求其 反函数。 5.理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件： 掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。 6.理解基本初等函数及其定义域、值域等概念：掌握基本初等函数的基本 性质。 7.理解初等函数的概念：了解分段函数的概念。 8.会建简单应用问题的函数关系。 同步练习 一、填空 1、设f0)=tw(x),则f0)-f0)= 么aie 少=F-4+m2的定义城为 4-得子，则以 sm-目e 6、已知fx)=sinx,f儿o(x月=1-x2,则p(x)=_ 7、设函数fx)满足关系式：f1+x)-2f1-x)=3,则函数f(x)_

第一部分 微积分 第一章 函数 基本要求 1. 理解实数与实数绝对值的概念，掌握解简单绝对值不等式的方法。 2. 理解函数、函数的定义域和值域等概念，熟悉函数的表示法。 3. 了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。 4. 了解反函数的概念；知道函数与其反函数的几何关系；给定函数会求其 反函数。 5. 理解复合函数的概念；了解两个（或多个）函数能构成复合函数的条件； 掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。 6. 理解基本初等函数及其定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本 性质。 7. 理解初等函数的概念；了解分段函数的概念。 8. 会建简单应用问题的函数关系。 同步练习 一、填空 1、设 f (t) = t(x) ，则 f (1)− f (0) = 。 2、设 ( ) 1 1 1      = x x x f x ，则 ( ) ( ) x f sin x • f 1+ e = 。 3、 7 2 1 4 arcsin 2 − = − + x y x 的定义域为 。 4、 ( ) x x f x f 1 2 2  =      − ，则 f (x)= 。 5、 ( ) 0 0 1       = x x x x f x ，则 f f (x) = 。 6、已知 ( )  ( ) 2 f x = sin x, f  x = 1− x ，则 (x)= 。 7、设函数 f (x) 满足关系式： ( ) ( ) x f 1+ x − 2 f 1− x = 3e ，则函数 f (x)=

8、已知f=l+cs)=sm则/ 3x+1 -3≤xfa)+fb) n、fa+b)>a)+f a+b 4、设函数f(u)的定义域为00),求g(x)=f(x+a)+f2x-3a)的

8、已知  ( ) ( ) 2 1 cos , sin x f  x = + x  x = ，则 f (x)= 。 9、已知 ( )      +     + −   = 2 1 3 3 0 1 3 1 3 0 2 x x x x x f x x ，则其反函数 f (x) −1 = 。 10、函数 3 y = lg cos arcsin x 由 复合而成。 二、选择 1、函数 ( ) x f x = 3 ，则 f (x + y)=（ ） A、 f (x)f (y) B、 f (2x) C、 f (x) D、 f (y) 2、若 f (x) 是 （-∞，+∞）上有定义的函数，则下列（ ）奇函数。 A、 ( ) 3 f x B、 ( ) 3 f x C、 f (x)− f (− x) D f (x)+ f (− x) 3、设函数 f (x) 定义在（0，+∞）内， a,b 为任意正数，若函数 ( ) x f x 单调减少，则有（ ） A、 f (a + b)  f (a)+ f (b) B、 ( ) ( ) ( ) a b f a f b f a b + + +  C、 f (a + b)  f (a)+ f (b) D、 ( ) ( ) ( ) a b f a f b f a b + + +  4、设函数 f (u) 的定义域为 0  u 1 ，则 f (ln x) 的定义域为（ ） A、（0 ，1） B、（1 ， a ） C、（0 ，e） D、（1 ，e） 5、设[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 y = x − x 为（ ） A、无界函数 B、单调函数 C、偶函数 D、周期函数 6、设函数 ( ) x f x x xe sin = + tan ，则 f (x) 是（ ） A、偶函数 B、无界函数 C、周期函数 D、单调函数 7、函数 ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 sin 2 − − − = x x x x x f x 在下列哪个区间内有界（ ） A、（-1 ，0） B、（0 ，1） C、（1，2） D、（2 ，3） 8、若在（-∞，+∞）内 f (x) 单调增加， (x) 单调减少，则 f(x) 在（∞，+∞）内（ ） A、单调增加 B、单调减少 Ｃ、不是单调函数 Ｄ、增减性难以判定 三、计算 １、设函数 y = f (x) 的定义域为［０，３ a ］（ a >０），求 g(x) = f (x + a)+ f (2x − 3a) 的

定义域 2、已知(+)=r0≤xs1 ,求o(x)及其定义域 2x10,f)=rx<0 3、设g)=2-xxs0 -xx20 ,求g[fx 4、设f(x)是(-a,a)上是奇函数，已知x≥0时，f(x)=p(x以0)=0，试求：在 (-a,0)上fx)=? 四、应用题 、某商品的单价为100元，单位成本为60元，商家为了促销，规定凡是购买超过 2单位时，对超过部分按单价的九五折出售求木函数、收益函数、利润函数 2、某电视机每台售价为500元时，每月可销售2000台，每台售价为450元时，每 月可增销400台，试求该电视机的线必性需求函数。 3、某厂生产某商品的可变成本为15元/件，每天的固定成本为2000元，如果每件商 品的出厂价为20元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 应用实例 生小兔问题 兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子 都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？ 解先直接推算，在第1月只有1对兔子：第2月也只有一对免子：在第3月这对角 子生了1对小兔子，共有2对兔子：在第4月，老兔子又生了1对小免子，共有3对小兔子 在第5个月，老兔子生1对小兔子，且在第3月出生的小兔也生育1对小兔子，故共有 对小兔子，在第6个月，老兔子、在第3、第4月出生的小兔子各生1对小兔子，故共有8 对小免子。如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表1所示。 表1 兔子对数增长 月份数 5 6 7 小兔数 月份数 /7 小兔数/ 21 34 89 1423 对 从表1看出， 年后（第13月）时共有233对兔子。但是计算2年后时，这种方法似

定义域。 ２、已知 ( )        + = 2 1 2 0 1 1 2 x x x x  x ，求 (x) 及其定义域。 ３、设 ( )    +  −  = 2 0 2 0 x x x x g x ， ( )    −   = 0 0 2 x x x x f x ，求 gf (x) ４、设 f (x) 是（－ a ，a ）上是奇函数，已知 x  0 时， f (x) =(x),(0) = 0 ，试求：在 （－ a ，０）上 f (x) = ？ 四、应用题 １、某商品的单价为１００元，单位成本为６０元，商家为了促销，规定凡是购买超过 ２００单位时，对超过部分按单价的九五折出售，求成本函数、收益函数、利润函数。 ２、某电视机每台售价为５００元时，每月可销售２０００台，每台售价为４５０元时，每 月可增销４００台，试求该电视机的线必性需求函数。 ３、某厂生产某商品的可变成本为１５元／件，每天的固定成本为２０００元，如果每件商 品的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少件该商品？ 五、设 ( ) x c x af x bf  =      + 1 ，其中 a,b, c 为常数，且 a  b ，试证： f (x) = f (− x)。 应用实例 生小兔问题 兔子出生以后两个月就能生小兔，如果每月生一次且恰好生一对小兔，且出生的兔子 都成活，试问一年以后共有多少对兔子，两年后有多少对兔子？ 解 先直接推算，在第 1 月只有 1 对兔子；第 2 月也只有一对兔子；在第 3 月这对兔 子生了 1 对小兔子，共有 2 对兔子；在第 4 月，老兔子又生了 1 对小兔子，共有 3 对小兔子； 在第 5 个月，老兔子生 1 对小兔子，且在第 3 月出生的小兔也生育 1 对小兔子，故共有 5 对小兔子，在第 6 个月，老兔子、在第 3、第 4 月出生的小兔子各生 1 对小兔子，故共有 8 对小兔子。如此类推，不难得到月份和小兔子对数的关系如表 1 所示。 表 1 兔子对数增长 月份数 / n 1 2 3 4 5 6 7 小兔数 / 对 1 1 2 3 5 8 13 月份数 / n 8 9 10 11 12 13 . 小兔数 / 对 21 34 55 89 14 4 23 3 . . 从表 1 看出，一年后（第 13 月）时共有 233 对兔子。但是计算 2 年后时，这种方法似

乎有些繁和苯，且容易出错。有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数 的变化情况，我们发现从第3月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和.若记厂，为 第n月的小兔对数，则我们发现的规律为 乃=1,3=1，n=yn-2+rn1,n=34,. (1) 用(1)式就很容易用计算机算出2年后兔子的对数为75025。 交通路口的红绿灯模型 问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒种，问最多可以有多少汽 车通过这个交叉路口. 两孕哲：这的提得镜闲为交红对上路阳的控方太很复》 。特别是年 样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的 数量以及它们的行驶的速度和方向。这里我们在一定的假设之下把这个问题简化 假设： (1)十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞 (2)所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车 (3)所有的车辆长度相同，为L米，并且都是从静止状态匀加速启动， (4)红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为D米. (5)前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为T秒. 对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿 灯又转为红灯时仍不能通过路口 我们用X轴表示车辆行驶的道路.原点O表示交通灯的位置，X轴的正向是汽车行驶 的方向.以象灯开始亮为起始时刻. 于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式 S,()=a2/2来描述它，其中S,(①)为1时刻汽车在X轴上的位置，a是汽车起动时的加 速度.对于灯前的第n辆车，则有公式Sn=S(0)+(1-1)/2,其中S(0)是起动前 汽车的位置，1o是该车起动的时刻。由假设(3)~(5)可知，S.(O)=-(n-1)(L+D), 1n=(-1)T.在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，为八，米/秒.并假设绿 灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的 时间是tn=./a+1n 由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是 S.(0). 0sI<I S(0=S0)+a1-o)212, n≤t<tn Sn(0)+2/2a+v.(-a),1n≤1 对于模型的参数值，我们取L=5米，D=2米，T=1秒.在城市的十字路口汽车的最

乎有些繁和苯，且容易出错。有没有更好的方法呢？现在回过头来仔细观察一下每月小兔数 的变化情况，我们发现从第 3 月开始，每月小兔对数就是前两月的小兔对数之和。若记 n r 为 第 n 月的小兔对数，则我们发现的规律为 r1 =1, r2 =1, rn = rn−2 + rn−1 , n = 3,4,  (1) 用（1）式就很容易用计算机算出 2 年后兔子的对数为 75025。 交通路口的红绿灯模型 问题：在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮 15 秒种，问最多可以有多少汽 车通过这个交叉路口. 分析：这个问题提得笼统含混，因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，特别是车 辆左、右转弯的规则，不同的国家都不一样。通过路口的车辆的多少还依赖于路面上汽车的 数量以及它们的行驶的速度和方向. 这里我们在一定的假设之下把这个问题简化. 假设： （1）十字路口的车辆穿行秩序良好，不会发生阻塞. （2）所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶，并且仅考虑马路一侧或单行线上的车 辆. （3）所有的车辆长度相同，为 L 米，并且都是从静止状态匀加速启动. （4）红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等，为 D 米. （5）前一辆车起动后，下一辆车起动的延迟时间相等，为 T 秒. 对于我们的问题，可以认为在红灯下等待的车队足够长，以致排在队尾的司机看见绿 灯又转为红灯时仍不能通过路口. 我们用 X 轴表示车辆行驶的道路.原点 O 表示交通灯的位置， X 轴的正向是汽车行驶 的方向.以绿灯开始亮为起始时刻. 于是在红灯前等待的第 1 辆汽车刚起动时应该按照匀加速的规律运动.我们可以用公式 ( ) / 2 2 S1 t = at 来描述它，其中 ( ) 1 S t 为 t 时刻汽车在 X 轴上的位置， a 是汽车起动时的加 速度.对于灯前的第 n 辆车，则有公式 ( ) (0) ( ) / 2 2 0 S t S a t t n = n + − ，其中 (0) Sn 是起动前 汽车的位置， 0 t 是该车起动的时刻。由假设（3）~（5）可知， S (0) (n 1)(L D) n = − − + ， t n = (n −1)T .在城市道路上行驶的汽车都有一个最高时速的限制，为 * v 米/秒.并假设绿 灯亮后汽车将起动一直加速到可能的最高速度，并以这个速度向前行驶，则显然汽车加速的 时间是 n n t = v / a + t * * . 由上面的分析可以得到绿灯亮后汽车行驶的规律是      + + −  + −     = S v a v t t t t S a t t t t t S t t S t n n n n n n n n * 0 * 2 * * 2 0 (0) / 2 ( ), (0) ( ) / 2, (0), 0 ( ) 对于模型的参数值，我们取 L =5 米 ，D =2 米 ，T =1 秒.在城市的十字路口汽车的最

高速度一般是40千米/时，它折合”=111米/秒.进一步需要估计加速度，经调查大部分 司机声称：10秒钟内车子可以由静止加速到大约26米/秒的速度。这时可以算出加速度应 为2.6米/秒，保守一些取汽车的加速度为a=米/秒1.，/a=5.5秒. 根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至15秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示 绿灯亮至15秒汽车的位置 车号123 4567810 最终位置/135.117.99.581.463.345.227.19-9.1 米 7 6 从上表可见，当绿灯亮至15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米。而第九辆车还 交通灯9.1米不能通过. 经济市场中商品交换模型 1.市场 个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。一个简单的交 换经济就这样形成.假定有n个贸易者群N=1,2,.,n,用1,2，.，n表示.有m种商品， 1,2,.,m作为下标.每个贸易者i带进市场的商品用可=(o,.,可)来表示，这里 可，是贸易者1拥有商品广的初始数量.我们假定每个贸易者1具有实值效用函数4，以表示 他的偏好.值4，(x)是对所有能实现的商品分配x=(x,x2,.,x)定义的，当且仅当 ,(x)>4,()时，贸易者1较向量y更喜欢向量x.还可假定函数山，具有某些性质，如连续 性和凸性，即对任意的0≤元≤1,4，(x+(1-2)y)≥，(x)+(1-)u,y)成立. 考虑一个贸易者联盟SN.S中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守 恒律∑x=∑可 这里x=(x,x,.,x)描述了1的商品分布。假定群体效用是它的成员效用的和。则联盟 的目标是选择x',使群体的总效用最大，即决定x,使(S)=mx∑4，(x) 任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值(S)。 2咖啡早茶 假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶。局中人1带两个单位的 咖啡，但他喜欢喝奶油的茶局中人2有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人3有

高速度一般是 40 千米/时，它折合 v* =11.1 米/秒 .进一步需要估计加速度，经调查大部分 司机声称：10 秒钟内车子可以由静止加速到大约 26 米/秒的速度。这时可以算出加速度应 为 2.6 米/秒 2，保守一些取汽车的加速度为 a =米/秒 2 . v* / a = 5.5 秒. 根据这些参数，我们可以计算出绿灯亮至 15 秒红灯再次亮时每辆汽车的位置如表所示 绿灯亮至 15 秒汽车的位置 车号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 最终位置/ 米 135. 7 117. 6 99.5 81.4 63.3 45.2 27.1 9 -9.1 从上表可见，当绿灯亮至 15 秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯 9 米。而第九辆车还距 交通灯 9.1 米不能通过. 经济市场中商品交换模型 1. 市场 个体贸易者将他们的商品带到市场，又根据不同的需求将商品换回家。一个简单的交 换经济就这样形成.假定有 n 个贸易者群 N = {1,2,  ,n} ，用 1,2,  ,n 表示.有 m 种商品， 1,2,  ,m 作为下标.每个贸易者 i 带进市场的商品用 ( , , , ) 1 2 i m i i i  =     来表示，这里 i  j 是贸易者 i 拥有商品 j 的初始数量.我们假定每个贸易者 i 具有实值效用函数 i u ，以表示 他的偏好.值 u (x) i 是对所有能实现的商品分配 ( , , , ) 1 2 m x = x x  x 定义的，当且仅当 u (x) u (y) i  i 时，贸易者 i 较向量 y 更喜欢向量 x .还可假定函数 i u 具有某些性质，如连续 性和凸性，即对任意的 0   1，u ( x (1 )y) u (x) (1 )u (y) i  + −    i + −  i 成立. 考虑一个贸易者联盟 S  N . S 中的局中人可以在他们之间将商品重新分配，满足守 恒律     = i s i i s i x  这里 ( , , , ) 1 2 i m i i i x = x x  x 描述了 i 的商品分布。假定群体效用是它的成员效用的和。则联盟 的目标是选择 i x ，使群体的总效用最大，即决定 i x ，使 ( ) max ( ) i i s i v S u x  = 任何公平的分配都必须考虑以这种方式决定的联盟值 v(S) . 2 咖啡早茶 假定三个工人带着四种商品（咖啡、茶、糖和奶油）去喝早茶.局中人 1 带两个单位的 咖啡，但他喜欢喝奶油的茶.局中人 2 有一个单位的茶但他喜欢喝加糖的咖啡，局中人 3 有

两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成 a3=(2,0,0,0),a2=(0,10,0),a3=(0,0,2,3) 假设局中人的效用函数是 4(x)=min{x2,x,）,42(x)=min{x,x},43(x)={x,x3,x4} 这里，()给出了工人1所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用x表示。 对N={L,2,3}的不同子集S,可计算联盟的值(S).例如，如果局中人1病了，不能 来工作，这对联盟{23}最有好处。导出的特征函数是 ({)=({2)=(3)={1,2)={2,3)=0,({L,3)=2,({1,2,3)=3 分配集是A={(4,山2,4)：4+山2+4=34，山2,43≥0} 核心是C={《4,2,4)∈A:4+4≥2 哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果4=(4，山2,4)位于核心中的分配x.这些集合表 示在下图中. ↑U2 U1+U3=2 方桌为什么总可以放平稳 问题将一只四条腿一样长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿 同时着地？ 在下列假设条件下，答案是肯定的：(1)地面为连续曲面。(2)相对于地面的弯曲程 度而言，方桌的脚是足够长的.(3)只要有一点接触地面，就应视为己经着地，即将与地面 的接触看成几何上的点接触。 现在，我们来证明这一结论.先作如下设想：设方桌的俯视图如下图，四条腿分别在 A、B、C、D处，方桌的中心为O, B y

两个单位的糖和三个单位的奶油，想喝加糖和奶油的咖啡.他们的自带商品可表示成 (2,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,2,3) 1 2 3  =  =  = 假设局中人的效用函数是 ( ) min{ , ), ( ) min{ , }, ( ) { , , } 1 2 4 2 1 3 3 1 3 4 u x = x x u x = x x u x = x x x 这里 u (x) i 给出了工人 i 所饮饮料的杯数，饮料由配料配制，配料可用 x 表示. 对 N = {1,2,3} 的不同子集 S ，可计算联盟的值 v(S) .例如，如果局中人 1 病了，不能 来工作，这对联盟 {2,3} 最有好处。导出的特征函数是 v({1}) = v({2}) = v({3}) = v({1,2}) = v({2,3}) = 0 , v({1,3}) = 2 , v({1,2,3}) = 3 分配集是 {( , , ): 3; , , 0} A = u1 u2 u3 u1 + u2 + u3 = u1 u2 u3  核心是 {( , , ) : 2} C = u1 u2 u3  A u1 + u3  哪个联盟也没有能力拒绝接受使效用结果 ( , , ) u = u1 u2 u3 位于核心中的分配 x .这些集合表 示在下图中. 方桌为什么总可以放平稳 问题 将一只四条腿一样长的方桌放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿 同时着地？ 在下列假设条件下，答案是肯定的：（1）地面为连续曲面.（2）相对于地面的弯曲程 度而言，方桌的脚是足够长的.（3）只要有一点接触地面，就应视为已经着地，即将与地面 的接触看成几何上的点接触. 现在，我们来证明这一结论. 先作如下设想：设方桌的俯视图如下图，四条腿分别在 A、B、C、D 处，方桌的中心为 O. U2 U1 U1+U3=2 A C A B y C θ

0 D 取对角线AC初始所在的直线为x轴，BD所在的直线为y轴。当方桌绕中心O转动时，对 角线AC与初始位置的夹角记为日。 记A、C两腿到地面的距离之和为f(),B、D两腿到地面距离之和为g(),当地 面是连续曲面时，人g均为日的连续函数。又根据(2)，腿是足够长的，故三条腿总能同 时着地，所以f(0)g()=0必成立.现不妨设f(O)=0(即初始时刻A、C两腿着地)， 而g(0)>0(否则己四腿若地).于是，方桌问题归化为以下的数学问题： 已知f()和g(0)是日的连续函数，f(0)=0,g0)>0,且对任意日有 f(0g(0)=0,求证存在某-0，使得f(0)=g(0)=0. 证明当日=号时，AC与BD互换了位置，故f(写)>0，g()=0.取 6,=sp01f(⑤)=0,0≤50,又有f(9。+e)>0.这样，由fg(0)=0又可推得 g(日+6)=0，再根据g的连续性及6的任意性即可得出g(8)=0,证毕. 第二章极限与连续 基本要求 1.了解数列与函数极限的概念。 2.了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法：了解无穷 大量的概念：知道无穷小量无穷大量的关系。 3.知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。 4.熟练掌握两个重要的极限。 5.了解函数连续性的概念，函数间断的概念：掌握函数间断点的分类：掌

取对角线 AC 初始所在的直线为 x 轴， BD 所在的直线为 y 轴. 当方桌绕中心 O 转动时，对 角线 AC 与初始位置的夹角记为  . 记 A、C 两腿到地面的距离之和为 f ( )， B、D 两腿到地面距离之和为 g( ) ，当地 面是连续曲面时， f、g 均为  的连续函数. 又根据（2），腿是足够长的，故三条腿总能同 时着地，所以 f ( )g( ) = 0 必成立. 现不妨设 f (0) = 0 （即初始时刻 A、C 两腿着地）， 而 g(0)  0 （否则已四腿着地）.于是，方桌问题归化为以下的数学问题： 已 知 f ( ) 和 g( ) 是  的连续函数， f (0) = 0 ， g(0)  0 ， 且 对 任 意  有 f ( )g( ) = 0 ，求证存在某一  ，使得 f ( 0 ) = g( 0 ) = 0 . 证 明 当 2   = 时 ， AC 与 BD 互换了位置，故 ) 0 2 ) 0, ( 2 (  =   f g . 取 sup{ | ( ) 0,0 0}  0 =  f  =    ，显然 2 0    . 因为 f 连续，由 上确界定 义必有 f ( 0 ) = 0 ，且对任意   0 ，又有 f ( 0 +  )  0 . 这样，由 f ( )g( ) = 0 又可推得 g( 0 + ) = 0 ，再根据 g 的连续性及  的任意性即可得出 g( 0 ) = 0 ， 证毕. 第二章 极限与连续 基本要求 1.了解数列与函数极限的概念。 2.了解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量比较的方法；了解无穷 大量的概念；知道无穷小量无穷大量的关系。 3.知道两个极限存在性定理，并能用于求一些简单极限的值。 4.熟练掌握两个重要的极限。 5.了解函数连续性的概念，函数间断的概念；掌握函数间断点的分类；掌 O x D