《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第三章 多维随机变量及其分布 第3节 条件分布

第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 ·条件分布律 ·条件分布函数 •条件概率密度 合】返回主目录

• 条件分布律 • 条件分布函数 •条件概率密度 第三章 随机变量及其分布 §3 条件分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 一、离散型随机变量的条件分布律 §3条件分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为 P(X=x,Y=y)=pij,i,j=1.2. X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律分别为： PX=x}=P.=∑2，i=12, PY=y}=p=∑P,j=l2,. 合】返回主目录

一 、离散型随机变量的条件分布律 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，其分布律为 P{ X= xi ,Y= yj }= pi j , i , j=1,2,. { } , 1,2, 1 = = = =  = • P X x p p i j i i i j { } , 1,2, 1 = = =  =  = • P Y y p p j i j j i j (X, Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律分别为： 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 由条件概率公式自然地引出如下定义： §3条件分布 定义：设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定 的j,若P{Y=乃}>0，则称 Y)P-12. P(Y=y p.i 为在Y=y,条件下随机变量X的条件分布律。 条件分布律具有分布律的以下特性： 10 P(X=x Y=y)20; 20 PX-Y-3-P p=1 台pP可 p.j 合】返回主目录

由条件概率公式自然地引出如下定义： 定义：设( X ,Y ) 是二维离散型随机变量，对于固定 的 j , 若P{Y= yj }>0, 则称 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = • i p p P Y y P X x Y y P X x Y y j i j j i j i j 为在Y= yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 条件分布律具有分布律的以下特性： 1 0 P{ X= xi |Y= yj }0；     = • •  =  • • = = = = = = = 1 1 1 0 1. 1 2 { | } i j j i i i j j j i j i j p p p p p p P X x Y y 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 同样对于固定的i,若P{X=x>0,则称 §3条件分布 理=yX=J=2 P(X=x} Pis 为在X=x,条件下随机变量Y的条件分布律 例 一 射手进行射击，击中目标的概率为p,射击到击 中目标两次为止。设以X表示首次击中目标所进 行的射击次数，以Y表示总共进行的射击次数， 试求X和Y的联合分布律以及条件分布律。 解： 共日X< 人的必厚昏丁3寸：XK厚吾这回去量

同样对于固定的 i, 若P{X= xi}>0, 则称 , 1,2, { } { , } { | } = = = = = = = = • j p p P X x P X x Y y P Y y X x i i j i i j j i 为在 X= xi 条件下随机变量Y 的条件分布律。 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击 中目标两次为止。设以 X 表示首次击 中目标所进 行的射击次数，以 Y 表示总共进行 的射击次数， 试求 X 和 Y 的联合分布律以及条件分布律。 例 1 并且 ． 的取值是 ， ， ， ； 的取值是 ， ， ， X Y Y X  2 3 4  1 2  解： 返回主目录

第三章随机变量及其分布 X人的联号2业炜P §3条件分布 b{X=w:人=N} =b{浅w必斟平4具心华中目兴共百并斟平小必} =b{蚩必朗平4具必平中目些’目浅必朗平4浅二必9中目牡} 甲婶牙用山焻 b==)=db.dmb=db (首中d=J-5)（=了°3：w=r5.w-1) X阳师赭出业炜羽 P{X=my=∑P{X=m,Y=m=∑p2g"- n=m+1 n=m+l -p29:=p,g m=1,2,. n=m+】 1-q

, 1,2, 1 { } { , } 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 = = − = = • = = = = = −  − = + −  = + −  = +    pq m q q p q p P X m P X m Y n p q m m n m n n m n n m 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 PX = m，Y = n = P第m次射击时首次击中目标，并且共射击n次 = P第m 次射击时首次击中目标 ，且第n次射击时第二次命中目 标 由独立性，可得 ( 其中q =1− p ) (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n  q p q p m n m = = =    ， −1 − −1 2 2 q p n =  − X的边缘分布律为 X,Y的联合分布律为

第三章随机变量及其分布 §3条件分布 人的师出出炜中 Pw=上Px=my=财=pg=a-p2g m= 115 n=2,3. 在Y=n条件下随机变量X的条件分布律为 当n=2,3,.时， PX=my=m=,p产g”3 n-1p2g-n-m=12,n-1 b{X=人=w}卡dbd-m-b=d-b与 =了3=5-J） [合】返回主目录

2,3, { } { , } ( 1) , 2 2 1 1 2 2 1 1 = = = = = = = − − − = − − =   n P Y n P X m Y n p q n p q n n m n n m 在Y=n 条件下随机变量 X 的条件分布律为 , 1,2, , 1; 1 1 ( 1) { | } 2 2 2 2 = − − = − = = = − − m n n p q n p q P X m Y n n n  当 n=2,3,. 时， 第三章 随机变量及其分布 Y的边缘分布律为 §3条件分布 (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n  q p q p m n m = = =    ， −1 − −1 2 2 q p n =  − 返回主目录

第三章随机变量及其分布 §3条件分布 在X=m条件下随机变量Y的条件分布律为 当m=1,2,3,.时， P(y=nlx=m)=PiX=m.Y=mpg-2 PX =m pgm-1 =pg"-m-1,n=m+l,m+2,. b=)=db.du-mb=db =S3:=丁0-I） 合】返回主目录

, 1, 2, { } { , } { | } 1 1 2 2 = = + + = = = = = = = − − − − pq n m m pq p q P X m P X m Y n P Y n X m n m m n 在 X= m 条件下随机变量Y 的条件分布律为 当m=1,2,3,. 时， 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 (n = 2, 3，； m = 1， 2，， n −1 ) PX m Y n  q p q p m n m = = =    ， −1 − −1 2 2 q p n =  − 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 二、条件分布函数 §3条件分布 设(X,y)是二维连续型随机变量，由于 P{x}=0,P{Fy;}=0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的 方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定y,设对于任意固定的正数ε， Py-0，若对于任意实数x,极限 limP{X≤xly-&<Y≤y+} 8→0 lim P{X≤x,y-8<Y≤y+8 60+P{y-8<Y≤y+8} 存在，则称为在条件Y=y下X的条件分布函数，写 成P{X≤xY=y},或记为F(y), 合】返回主目录

二、条件分布函数 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量，由于 P{X= xi}=0, P{Y= yj }=0, 不能直接代入条件概率公式，我们利用极限的 方法来引入条件分布函数的概念。 定义：给定 y，设对于任意固定的正数 ， P{y-0, 若对于任意实数 x，极限 { } { , } lim lim { | } 0 0         −   +  −   + =  −   + → + → + P y Y y P X x y Y y P X x y Y y 存在，则称为在条件Y= y下X的条件分布函数，写 成 P{ X x |Y= y }，或记为 FX|Y (x|y). 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 返回主目录

第三章随机变量及其分布 §3条件分布 Fxiy(xly)=lim P{X≤x,y-6<Y≤y+} &0*P{y-6<Y≤y+8} lim F(x,y+8)-F(x,y-8) 6→0* Fy(y+8)-Fy(y-8) lim[F(x,y+e)-F(x,y-s】/2ε 8→01 lim[Fy(y+s)-Fy(y-ε】/2e 8→0 OF(x,y) 8y ["f(u.y)du y(y) fy(y) fy(y) dy 合】返回主目录

第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 ( ) ( , ) ( ) ( , ) lim [ ( ) ( )]/ 2 lim [ ( , ) ( , )]/ 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) lim { } { , } ( | ) lim 0 0 0 0 | f y f u v dudv y F y d y d y F x y F y F y F x y F x y F y F y F x y F x y P y Y y P X x y Y y F x y Y y x Y Y Y Y Y X Y           =   = + − − + − − = + − − + − − = −   +  −   + =   − − → → → → + + + +                   , ( ) ( , ) f y f u y du Y x − = 返回主目录

第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 Fi(x1y)fu.ydh f,(y) E(w=∫a, 9f(y) 称为在条件Y=y下X的条件分布函数， Fxr(x1)=.y) fy(y) 垫)P饵企雪X年人=的送仲上的老+最耷思熟

, ( ) ( , ) ( | ) | f y f u y du F x y Y x X Y − = , ( ) ( , ) ( | ) | − = x Y X Y du f y f u y F x y . ( ) ( , ) ( | ) | f y f x y f x y Y X Y = 第三章 随机变量及其分布 §3条件分布 称为在条件Y= y下X的条件分布函数， 称为随机变量 X 在Y = y的条件下的条件密度函 数