《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第三章 向量空间（3/4）

1.行秩、列秩、矩阵的秩 四.矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 1.行秩、列秩、矩阵的秩 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩； 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 113 1 0 2 -1 4 例如：矩阵A= 0 0 0 5 的行向量组是 00 0 0 a1=(1,1,3,1) 2=(0,2,-1,4) 03=(0,0,0,5) 4=(0,0,0,0)

1 四. 矩阵的秩 1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 1. 行秩、列秩、矩阵的秩 5.矩阵秩与行列式的关系 把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成， 把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。 定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 例如：矩阵 1 1 3 1 0 2 1 4 0 0 0 5 0 0 0 0 A     − =         的行向量组是 1 2 3 4 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) (0,0,0,0)     = = − = =

可以证明，ac1,C2,C3是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由ka1+k2c2+k303=0 即k(1,1,3,1)+k2(0,2,-1,4)+k3(0,0,0,5) =(k1,k1+2k2,3k1-k2,k1+4k2+5k3) =(0,0,0,0) 可知k1=k2=k3=0,即01，C2,03线性无关； 而4为零向量，包含零向量的向量组线性无关， ∴.01，C2,03,C4线性相关。 所以向量组01,2,03，C4的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3。 2

2 可以证明， 1 2 3    , , 是A的行向量组的一个极大无关组， 因为，由 1 1 2 2 3 3 k k k    + + = 0 即 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 3 (1,1,3,1) (0,2, 1,4) (0,0,0,5) ( , 2 ,3 , 4 5 ) (0,0,0,0) k k k k k k k k k k k + − + = + − + + = 可知 1 2 3 k k k === 0, 即 1 2 3    , , 线性无关； 而  4 为零向量，包含零向量的向量组线性无关， 1 2 3 4     , 线性相关。 所以向量组 1 2 3 4     , 的秩为3， 所以矩阵A的行秩为3

矩阵A的列向量组是 3 B,= 0 ,B2= 0 ,月3= -0 ,B4= 45 0 0 0 0 可以验证B1,B2,B4线性无关， 面月-A-+0A, 所以向量组B,B2,B3,乃4的一个极大无关组是B,P2,P, 所以向量组B1,B2,B3,B4的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3。 3

3 矩阵A的列向量组是 1 2 3 4 1 1 3 1 0 2 1 4 , , , 0 0 0 5 0 0 0 0                     − = = = =                                 可以验证 1 2 4    , , 线性无关， 而 3 1 2 4 7 1 0 2 2     = − + 所以向量组 1 2 3 4     , 的一个极大无关组是 1 2 4    , , 所以向量组 1 2 3 4     , 的秩是3， 所以矩阵A的列秩是3

问题：矩阵的行秩矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 (列) (列) 01 证：把Anxn按行分块，设Amxm= 2 (1)对换矩阵A的两行 A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 (2)用非零常数k乘以A的第行 4

4 问题：矩阵的行秩 ? ＝ 矩阵的列秩 引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 （列） （列） 证：把 A m n 按行分块，设 1 2 m n m A         =       （1）对换矩阵A的两行   A的行向量组所含向量未变，所以向量组的秩不变， 所以矩阵A的行秩不变。 （2）用非零常数k乘以A的第i行

A= Cc; k入 ka =A2 显然，向量组C1,.,k,.,Cm 可以由向量组c1,.,C,.,0必m 线性表示； 而向量组01，.，0，Cm 也可以由向量组a1,.,kC,.,Cm线性表示。 所以矩阵A的行向量组与A,的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩， ∴.A的行秩=A,的行秩，即A的行秩不变。 5

5 1 1 2 i kr i i m m A A k                   = ⎯⎯→ =                     显然，向量组 1 , , , , i m    k 可以由向量组 1 , , , ,    i m 线性表示； 而向量组 1 , , , ,    i m 也可以由向量组 1 , , , , i m    k 线性表示。 所以矩阵 A 的行向量组与 A2 的行向量组等价， 又等价的向量组有相同的秩，  A的行秩＝ A2 的行秩，即A的行秩不变

(3)非零常数k乘以第行后加到第行上 0 A- 4. &i k灯 =A aj+ka; 显然，A,中的行向量组 可以由A的行向量组线性表示 m 而A的行向量组可以由 A中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。 6

6 （3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上 1 1 3 i i i kr j j i m m A A k                              = ⎯⎯→ =         +             显然， A3 中的行向量组 可以由 A 的行向量组线性表示 而 A 的行向量组可以由 A3 中的行向量组线性表示。 所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变

引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 (列) (行) 证：设矩阵A经过初等行变换变为B, 即存在有限个初等矩阵P,P2,.,P 使得PP.PA=B 令P=PP.P则PA=B 把Axm按列分块，设Amxn=(a1,02,.,Cn) 不妨设A的列向量组的极大无关组为01,2，.，0， (可交换列的次序把它们换到前列，矩阵的秩不变) 则PA=P(a1,a2,.,an）=(Pa,Pa2,.,Pan) =B

7 引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。 （列） （行） 证：设矩阵A经过初等行变换变为B， 即存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P PS 使得 P P P A B 1 2 S = 令 P P P P = 1 2 S 则 PA B = 把 A m n 按列分块，设 1 2 ( , , , ) A m n n  =    不妨设A的列向量组的极大无关组为 1 2 , , , ,    r （可交换列的次序把它们换到前r列，矩阵的秩不变） 则 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) PA P P P P = =       n n = B

下面证明A的列向量组的极大无关组C1,C2,.,0C, 经过初等行变换变为Pa,Pa2,.,Pa, 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 (1)先证Pac1,Pa2,Pa,线性无关。 设数k1,k2,.,k, 使得kPa1+k2Pa2+k,Pan=0成立 P(k1+kc2+k,C)=0 因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。 .P-P(k a+kaz +ka,)=P-0 ∴.k1+k2a2+k,Qn=0又a1,02,.,0,线性无关 .k1=k2=k3=0.Pa1,PC2,.,PC,线性无关。8

8 下面证明A的列向量组的极大无关组 1 2 , , ,    r 经过初等行变换变为 1 2 , , , P P P    r 是矩阵B的列向量组的极大无关组。 （1）先证 1 2 , , , P P P    r 线性无关。 设数 1 2 , , , r k k k 使得 1 1 2 2 0 r r k P k P k P    + + = 成立 1 1 2 2 ( ) 0 P k k k    + + = r r 因为P为初等矩阵的乘积，所以P可逆。 1 1 1 1 2 2 ( ) 0 P P k k k P   r r − −  + + = 1 1 2 2 0 r r  + + = k k k    又 1 2 , , ,    r 线性无关 1 2 3  = = = k k k 0 1 2 , , ,  P P P    r 线性无关

(2)再证B的列向量组中任一向量P, 可由向量组Pa1,Pa2,.,Pa,线性表示。 ,C1,02,.,c,是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量都存在数1,2，1， 使得=l11+l2a2+.+1,a, 等号两边左乘P 有Pa,=l1Pa,+lPa2+.+l,Pa, 由(1)(2)可知Pa1,Pa2,.,Pa,是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩=r=A的列秩 9

9 （2）再证B的列向量组中任一向量 P j 可由向量组 1 2 , , , P P P    r 线性表示。    1 2 , , , r 是A的列向量组的极大无关组 所以对于A中任一列向量 1 2 , , , r  j 都存在数 l l l 使得 j r r 1 1 2 2     = + + + l l l 等号两边左乘P 有 P l P l P l P     j r r = + + + 1 1 2 2 由(1)(2)可知 1 2 , , , P P P    r 是B的列向量组的一个极大 无关组。 所以，B的列秩＝r＝A的列秩

综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩=矩阵的列秩 证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 E, 0 形式， 而它的行秩为r,列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩=r=A的列秩 定义2：矩阵的行秩=矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA,或秩A。 推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 10

10 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩 证：任何矩阵A都可经过初等变换变为 0 0 0 E r       形式， 而它的行秩为r，列秩也为r。 又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩， 所以，A的行秩＝r＝A的列秩 定义2：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。 记为r(A),或rankA，或秩A。 推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩