《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第四章 随机变量的数字特征 第4节 协方差及相关系数

第四章 随机变量的数字特征 §4.协方差及相关系数 §4协方差 1、定义 COV(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)-EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差.而COV(X,X)=DX COV(X,Y) √DX.√D亚为随机变量X,Y的相关系数。 Pw是一个无量纲的量；若pw=0, 称X,Y不相关，此时COV(XY)=O。 定理：若X,Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=EX-EXE(Y-EY) 又E(X-EX=0,E(Y-EY)=0 所以E(X-EXY-EY)=0。 合】返回主目录 即 COVX,Y-0

§4.协方差及相关系数 §4 协方差 第四章 随机变量的数字特征 1、定义  XY 是一个无量纲的量；若 XY =0， 称 X,Y 不相关,此时 COV(X,Y)=0。 定理：若X，Y独立，则X,Y不相关。 证明：由数学期望的性质有 E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY) 又 E(X-EX)=0, E(Y-EY)=0 所以 E(X-EX)(Y-EY)=0。 即 COV(X,Y)=0 称COV(X,Y)= E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EXEY 为随机变量X,Y的协方差. 而 COV(X,X)=DX. DX DY 为随机变量X,Y的相关系数。 COV X Y XY . ( , )  = 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 注意：若EX-EX)Y-EY)≠0，即EXY-EXEY0,则 X,Y一定相关，且X,Y一定不独立。 2、协方差的性质 1)COVX,Y)-COVYX); 2)COV(ax,bY)-abCOV,Y); 3)COVX+Y,Z☑=COVX.Z☑+COVY,Z☑)： 4若X,Y不相关，则：EXY=EXEY,DaX+bY)=a2DX+bDY 由方差的性质3)知： D(ax+by)=a-DX+b-DY+2abCOV(X,Y) [合】返回主目录

2、协方差的性质 1) COV(X,Y)=COV(Y,X); 2) COV(aX，bY)=abCOV(X,Y); 3) COV(X+Y,Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z); 4) 若 X,Y 不相关，则：EXY=EXEY, D(aX+bY)=a DX b DY 2 2 + 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 由方差的性质３）知： 注意：若E(X-EX)(Y-EY) 0, 即EXY-EXEY 0， 则 X，Y一定相关，且X，Y一定不独立。   D(aX+bY)= 2 ( , ) 2 2 a DX + b DY + abCOV X Y 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 3、相关系数的性质 1)Pw≤1. 2)Px=1→存在常数ab使P{Y=a+bX)=1. 证明： 令：e=E[Y-(a+bX]2 EY2+b2EX2+a2-2aEY-2bEXY+2abEX 求a,b使e达到最小 =2a+2bEX-2EY=0 令 Ba be ab =2bEX2-2EXY+2aEX=0 将a=EY-bEX,代入第二个方程得 bEX2-EXY+(EY-bEX)EX=0,b= EXY-EXEY EX2-(EX)2

3、相关系数的性质 1)  1.  XY 2)  XY = 1存在常数 a,b 使 P{Y=a+bX}=1. 证明： EY b EX a aEY bEXY abEX e E Y a bX 2 2 2 [ ( )] 2 2 2 2 2 = + + − − + 令： = − + 求 a,b 使 e达到最小 第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令        = − + =   = + − =   2 2 2 0 2 2 2 0 2 bEX EXY aEX b e a bEX EY a e 将 a = EY − bEX , 代入第二个方程得 2 2 2 ( ) ( ) 0, EX EX EXY EXEY bEX EXY EY bEX EX b − − − + − = 故 =

第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 6 COV(X,Y) 解得 DX ao =EY-bEX EY-EX. COV(X,Y) DX min E[Y-(a+bx)]2=E[Y-(ao+b)] =E(Y-EY+Ex cOv(X.Y)_X.cov(X.Y) DX DX =E((Y-EY)-(X-EX). Ov(X,) DX -DY+px.covi(x.y)-2cov(X.y).cov(x.) (DX)2 DX -DY+covi(x.)_2cov(x.) DX DX 合 返回主目录

解得 DX COV X Y a EY b EX EY EX DX COV X Y b ( , ) ; ( , ) 0 0 0 = − = −  = − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b 2 0 0 E[Y − (a + b X )] 2 ) ( , ) ( , ) ( DX COV X Y X DX COV X Y = E Y − EY + EX −  2 ) ( , ) (( ) ( ) DX COV X Y = E Y − EY − X − EX  第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 DX COV X Y DX COV X Y DY ( , ) 2 ( , ) 2 2 = + − DX COV X Y COV X Y DX COV X Y DY DX ( , ) 2 ( , ) ( ) ( , ) 2 2 = +  −  返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 DY COV2(X,Y)=DY-pm·Dr·DY =(1-Pi)DY DX DX 即：minE[Y-(a+bX)]2=(1-px)DY a b 由上式得 1)1-px20,pws1。 2)若Pw=1,则E[Y-(a+bX]2=0。 从而D[Y-(a,+bX】+(EY-(a+b,X】2=E[Y-(a+b,X)]=0 所以D[Y-(a+bX】=0,EY-(a+b,X】=0 故P{Y-(a+bX)=0}=1. 即 P{Y=a+bX}=1。 合】返回主目录

即： − + = 2 , min E[Y (a bX)] a b (1 XY )DY 2 −  DX DX DY DY XY   = − 2  = (1 X Y )DY 2 −  由上式得: 1) １－ 0, 1 2   XY XY   。 2) 若 = 1,  X Y 则 [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 。 第四章 随机变量的数字特征 从而D[Y − (a0 + b0 X )] + − + = 2 0 0 (E[Y (a b X)] ) [ ( )] 0 2 E Y − a0 + b0 X = 所以 [ ( )] 0, D Y − a0 + b0 X = E[Y − (a0 + b0 X )] = 0 故 P{Y－（a0 + b0 X ) = 0 }=1. 即 P{Y＝a0 + b0 X }=1。 DX COV X Y DY ( , ) 2 = − 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 反之，若存在a,b使P{Y=a+bX}=1,则 P{Y-(a*+b*X)=0}=1, 故E[Y-(a*+b*X)]2=0而 O=E[Y-(a'+b'X)]z min E[Y-(a+bx)2=(1-piy)DY 则1-px=0,Pw=1。 说明 阳关兰新晋肇迎惧企雪X己人]希F关兰嫠恩度的雪 宗6=4·X早人>回川搬率世平渠稀师关： 录6x抑接扣土0·又月人回即译F关芝郸盟： 录6x=04又已x子业世年泽师关（化相） X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系

反之，若存在   a ,b 使 P{Y＝a b X   + }=1，则 P{Y－（a b X   + ）＝０}=1， 故 [ ( )] 0 2 − + =   E Y a b X 而 = − +    2 0 E[Y (a b X)] − + = 2 , min E[Y (a b X)] a b (1 X Y )DY 2 −  则 1 0, 1 2 −  XY =  XY = 。 第四章 随机变量的数字特征 说 明 当  X， Y =1时，X 与Y 之间以概率1存在着线性关系； 相关系数是表征随机变 量 X 与Y 之间线性关系紧密程度 的量． 当  X， Y 越接近于0时，X 与Y 之间的线性关系越弱； 当  X， Y =0时，X 与Y 之间不存在线性关系(不相关)． X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间没有关系

第四章 随机变量的数字特征 5、例子 §4协方差 CO=' 浴X'人晋二厘企雪'D以=D人=中 R=X-5小=5X-人 s:b0. D=D(X-5)=DX++D-Co(XA) =J+寸×寸-寸×丁=3 D=D(5X-)=X+DA-CO(X') =中×打+寸-寸×丁=寸 [合】返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 解：( ， ) ，记 设 ， 是二个随机变量，已知 ， ， cov 1 1 4 = = = X Y X Y DX DY  = X −2Y， = 2X −Y 试求：， ． D = D(X −2Y) = DX + 4DY −4cov(X，Y) =1+ 44 − 41 =13 D = D(2X −Y) = 4DX + DY −4cov(X，Y) = 41+ 4 − 41 = 4 5、例子 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 c0A(食)=C0A(X-5NSX-) =丁GOA(XX)寸c0A(X)-COA(X)+SCOA() =SDX-2COA(X+5D =5×I-2×I+下×寸 =2 业 b*DD c0()2 23 [合]返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 cov(，)= cov(X −2Y， 2X −Y) = 2cov(X， X)−4cov(Y， X)−cov(X，Y)+2cov(Y，Y) = 2DX −5cov(X，Y)+ 2DY = 21−51+24 = 5 所以， ( )       D D ， ， cov = 13 4 5 = 26 5 13 = 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 设(X,Y)服从二维正态分布，求：P灯 §4协方差 k-42_2px-4-42+y-22 0102 由上述知：)=一e e ’09=2zo, EX=M,DX =0i,EY=Mz,DY=02, Cov(X.Y)=5[(x-i)(y-m2)f(x.y)dxdv x-42 [合】返回主目录

设(X,Y)服从二维正态分布，求： XY 由上述知： 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 1 ( )    − − = x X f x e ， 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 1 ( )    − − = y Y f y e    −  − Cov(X,Y) = (x − )( y − ) f (x, y)dxdy 1  2 , , , , 2 2 2 2 EX = 1 DX =  1 EY =  DY =     −  − − − − − − − − − − − = x y e e dydx x y x 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 [ ] 2(1 ) 1 2 ( ) 1 2 2 1 2 ( )( ) 2 1 1               第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 ( ) ( ) ( )( ) ( )                         − + − − − −       − − − = 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 exp 2 1 1 2 2 1              x x y y f x， y 返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4协方差 令t= 1-p2 02 则x-4=o14,y-42=(1W1-p2+pm)o2 at at 11 Ox ay J= ouou 1 ax ay 0 01 [合]返回主目录

第四章 随机变量的数字特征 §4 协方差 令 [ ] 1 1 1 1 2 2 2       − − − − = y x t ， 1 1  −  = x u ， 2 1 2 1 2 1 2 ) 1 1 1 (       = − − − = − − 1 1 2 2 1 2 1 0 1 1 1 1 1 1 − − − − − =         =       y u x u y t x t J 2 2 1 1 2 则 x −  =  u , y −  = (t 1−  + u) 返回主目录