《经济数学基础》课程PPT教学课件（概率统计）第三章 多维随机变量及其分布 第2节 边缘分布

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§2 边缘分布 边缘分布的定义 如果(X,Y)是一个二维随机变量，则它的分量X (或者Y)是一维随机变量，因此，分量X(或者Y) 也有分布.我们称X(或者Y)的分布为X(或者Y) 关于二维随机变量(X,Y)的边缘分布. 边缘分布也称为边沿分布或边际分布. 已知联合分布函数求边缘分布函数 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)的斗雪 X的出ㄓ犀)卫 玉X()=b{X<}=b{X<-0<人<+o} =飞(X:)=(+o)图回主目录

边缘分布的定义 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 关于二维随机变量 ( ， )的边缘分布． 也有分布．我们称 或者 的分布为 或者 或者 是一维随机变量，因此 ，分量 或者 如果 ， 是一个二维随机变量， 则它的分量 X Y X Y X Y Y X Y X Y X §2 边缘分布 边缘分布也称为边沿分布或边际分布． 已知联合分布函数求边缘分布函数 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x， y)， X的分布函数为 则分量 F (x) X = PX  x = PX  x， − Y  + F(x y) y ， →+ = lim = F(x， +) 返回主目录

§2 边缘分布 回庙出雪人的出出尿)卫 0)=b&<}=b{0<X<+o·人} 例1 =m:)=k(+o) 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为 F,火amC+anm》 -0<x<+00,-0<y<+0) 试求：(I).常数A、B、C; (2).X及Y的边缘分布函数. 解： (1).由分布函数的性质，得 I=F,+)=B+ 合返回主目录

同理，分量Y 的分布函数为 F (y) Y = PY  y = P− Y  +，Y  y F(x y) x ， →+ = lim = F(+， y) §2 边缘分布 解： 设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为 ( )        +      = + 3 arctan 2 arctan y C x F x， y A B (−   x  +， −   y  +) 试求：⑴．常数A、 B、 C； ⑵．X 及Y的边缘分布函数． ⑴．由分布函数的性质，得 1= F(+， +)        +      = + 2 2   A B C 例1 返回主目录

§2 边缘分布 例1（续） 0=-g+c即c-是 0=(o）-8-c+a如到 甲下三u煌，=子· B= C= (⑤)'X的T出ㄓ尿)卫 玉()=西上() →+0

例 1（续） ， ， ． 2 2 1 2    A = B = C =        −      = + 2 2 arctan  C x A B 由以上三式可得， ⑵．X的边缘分布函数为 F (x) F(x y) y X ， →+ = lim 0 = F(x， −) 0 = F(−， y)        +      = − 3 arctan 2 y A B C         +      = + →+ 3 arctan 2 2 arctan 2 1 lim 2 x y y          = + 2 arctan 2 1  x  ( x(−， +) ) §2 边缘分布 返回主目录

§2 边缘分布 例1（续) 凹鐳人的T￥芈)户 以→十00 (0)=四(·) cp) (∈(o+) 合】返回主目录

例 1（续） F (y) F(x y) x Y ， →+ = lim        +      = + →+ 3 arctan 2 2 arctan 2 1 lim 2 x y x          = + 2 arctan 2 1  y  ( y(−， +) ) 同理，Y 的边缘分布函数为 §2 边缘分布 返回主目录

§2 边缘分布 已知联合分布律求边缘分布律 对于二维离散型随机变量(X,Y),己知其联合分布律为 P=P{X=x,Y=y,}6,j=1,2,) 华厘企軎X的屮炜： 6=6{汉=x}（=丁.) =b以==方以=x·玉=∑w 回鐳”阗企雪人的9芈串沪： 6=f1=2小}=∑b收=·1=-∑ 合返回主目录

已知联合分布律求边缘分布律 对于二维离散型随机变 量(X， Y )，已知其联合分布律为 现求随机变量X的分布律： P = PX = x ， Y = y  (i，j = 1， 2，) i j i j Pi. = PX = xi  ( i =1， 2， ) Pi. = PX = xi  =   = =  j i j P X x ， Y y =  j ij p §2 边缘分布 P. j = PY = y j  =  = =  i i j P X x ， Y y =  i ij p 同理，随机变量Y的分布律为： 返回主目录

§2 边缘分布 已知联合分布律求边缘分布律 X以及Y的边缘分布律也可以由下表表示 y y2 。 Pu P12 Pu P P21 P22 pzj P2. Pa Pi P可 p.j p P.2 ●●● 合】返回主目录

已知联合分布律求边缘分布律 X以及Y的边缘分布律也可以由下表表示 Y X 1 y 2 y . j y . i p 1 x p11 p12 . j p1 . p1 2 x p21 p22 . p2 j . p2      i x i1 p i2 p . pij . i p      p j p1 p2 . p j . §2 边缘分布 返回主目录

§2 边缘分布 例2 出芈炜 人张(X人)联号出典炜户X人冬目的师器 X量M打到X中源「抑赵一V粱妈业酗的熟P Y心丁3十g熟中厘「酗用一V·业赵的A 啮X户人的必厚欺香下丁3寸四日人4甲驿惜 -ay-==收=以-行 蛀甲b=∑N=∑ 合】返回主目录

例 2 ( ) 分布律． ，试求 ， 的联合分布律与 及 各自的边缘 ，再从 到 中随机地取出一个数， 记所取的数为 从 ， 这 个数中随机取出一个， 记所取的数为 Y X Y X Y X 1 X 1 2 3 4 4 解：X 与Y的取值都是 1， 2，3， 4，而且Y  X， 所以，当i  j时，PX = i，Y = j= 0 §2 边缘分布 当i  j时，由乘法公式，得 Pij = PX = i， Y = j = PX = i PY = j X = i  i 4i 1 1 4 1 =  = 再由  =  j i ij p p  =  i 及 p j pij 返回主目录

§2 边缘分布 例2（续） 1惜(X人)X人的师出业炜羽 1 2 3 4 X 1 4 0 0 0 4 2 名 8 0 0 4 3 1 12 12 0 4 4 。 6 p.j 器 13 7 3 48 合返回主目录

例 2（续） Y X 1 2 3 4 pi 1 4 1 0 0 0 4 1 2 8 1 8 1 0 0 4 1 3 12 1 12 1 12 1 0 4 1 4 16 1 16 1 16 1 16 1 4 1 p j 48 25 48 13 48 7 48 3 §2 边缘分布 可得(X，Y)与X 及Y的边缘分布律为 返回主目录

§2 边缘分布 例3 炜尽儿]县目的师馨出芈炜· 的2壮云普中的一最曾熟己二最曾熟的联号出芈 (⑤)”业回号浮￥钟悍上·出凯斗茛 必用一中并押必2必·(I)电必回号 早20ò0三最9早50ò0Y浮曾中避必 一云9并20+·首中一最9早30ò0二表曾 时： 令：X:必的2中云曾中的一最出熟 人：赵用的2中普中的二最普新 [合]返回主目录

例 3 解： 律及它们各自的边缘分布律． 的 件产品中的一等品数与二等品数的联合分布 ⑵．不放回场合这两种情况下，分别计算取出 取出一件，共抽取 次．试在⑴．有放回场合， 占 ，三等品占 ．现从这批产品中每次 一批产品共 件，其中一等品占 ，二等品 5 5 50% 20% 50 30% 令：X：取出的5件产品中的一等品数； Y：取出的5件产品中的二等品数． §2 边缘分布 返回主目录