《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第三章 向量空间（2/4）

1. 向量组的一个基本性质 三.向量组的秩 2. 极大线性无关组 3.向量组的秩 1.向量组的一个基本性质 4.向量空间的基和维数 定理：设必1，C2,.,与B1,P2,.,f,是两个向量组，如果 (1)向量组C1,02,.,0,可以由向量组阝，B2,.,B,线性表示； (2)S>t 则向量组1，c2,.,C,必线性相关。 推论1：如果向量组C1,02,.,C,可以由向量组B,B2,.,B, 线性表示，并且a1,Q2,.,C,线性无关，那么S≤t 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量

1 三. 向量组的秩 1. 向量组的一个基本性质 2. 极大线性无关组 3. 向量组的秩 4. 向量空间的基和维数 1. 向量组的一个基本性质 定理：设 1 2 , , ,    s 与    1 2 , , , t 是两个向量组，如果 (2) s t  则向量组    1 2 , , , s 必线性相关。 推论1：如果向量组 可以由向量组 1 2 , , ,    t 线性表示，并且 1 2 , , ,    s    1 2 , , , s 线性无关，那么 s t  推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 1 2 , , , (1) 向量组    s 1 2 , , , 可以由向量组    t 线性表示；

2.极大线性无关组 定义1：对向量组A,如果在A中有r个向量01,02，C, 满足： (1)A:01,02,.,0,线性无关。 (2)任意r+1个向量都线性相关。（如果有的话) 那么称部分组A,为向量组A的一个极大线性无关组。 简称极大无关组。 注：（1)只含零向量的向量组没有极大无关组. (2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 (3)一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示 2

2 2. 极大线性无关组 定义1: 注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 1 2 , , ,    r 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 0 1 2 : , , , （1） A    r 线性无关。 那么称部分组 A0 为向量组 A 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示

2 4 2, - 例如：在向量组必1= ,02= 中， 3 5 03= 4 1 4 首先01,02线性无关，又01,02，C3线性相关， 所以C,组成的部分组是极大无关组。 还可以验证2,3也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 3

3 例如：在向量组 1 2 3 中， 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1                − − − = = =                         − 1 2 首先  , 线性无关， 又 1 2 3    , , 线性相关， 所以 1 2  , 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 2 3  , 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的

极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 定理： 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 4

4 极大无关组的一个基本性质： 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。 又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都 与向量组等价，所以： 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。 由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得 一个向量组的任意两个极大无关组等价， 且所含向量的个数相同。 定理：

3.向量组的秩 定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩，记作r(C1,C2,.,0,) 2 -1 -2 例如：向量组Q1= 3 ,02= ,03= -4 的 1 4 秩为2。 5

5 3. 向量组的秩 定义2：向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩, 记作 例如： 向量组 1 2 3 的 2 4 2 1 2 1 , , 3 5 4 1 4 1                − − − = = =                         − 秩为2。 1 2 ( , , , ) s r   

关于向量组的秩的结论： (1)零向量组的秩为0。 (2)向量组C1,C2,.,a,线性无关台r(C1,a2,.,)=S 向量组1,02，.，C,线性相关台r(C1,2,.,)<S (3)如果向量组c1,C2,.,可以由向量组乃，B2,.,B, 线性表示，则 r(a1,a2,.,a)≤r(B1,B2,.,B) (4)等价的向量组必有相同的秩。 注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价。 6

6 （4）等价的向量组必有相同的秩。 关于向量组的秩的结论： （1）零向量组的秩为0。 （2）向量组 1 2 , , ,    s 线性无关  1 2 ( , , , ) s r s    = 向量组 1 2 , , ,    s 线性相关  1 2 ( , , , ) s r s     （3）如果向量组 可以由向量组 1 2 , , ,    t 线性表示，则 1 2 , , ,    s 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) s t r r        注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。 两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个 线性表示，则这两个向量组等价

4.向量空间的基与维数 定义：设V是向量空间，如果r个向量01,02，.，ac,∈V, 且满足 (1)1,x2,.,C,线性无关。 (2)V中任一向量都可由1，C2,.,C,线性表示， 那么，就称向量组0x1,Q2,.,是向量空间V的 一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV=r 并称V是r维向量空间。 注： (1)只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。 (2)如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 (3)向量空间的基不唯一。 7

7 4. 向量空间的基与维数 定义：设V是向量空间，如果r个向量 1 2 , , , ,    r V 且满足 1 2 , , , （1）    r 线性无关。 （2）V中任一向量都可由 1 2 , , ,    r 线性表示， 那么，就称向量组 1 2 , , ,    r 是向量空间V的 一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r 并称V是r维向量空间。 注：（1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。 （2）如果把向量空间看作向量组，可知，V的基就是向 量组的极大无关组，V的维数就是向量组的秩。 （3）向量空间的基不唯一