《经济数学基础》课程PPT教学课件（线性代数）第三章 向量空间（1/4）

第三章 向量空间 一.n维向量空间 二.线性相关性 三.向量组的秩 四.矩阵的秩 五.内积与正交化

1 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 一. n维向量空间 四. 矩阵的秩 第三章 向量空间 五. 内积与正交化

一.n维向量空间 1.n维向量 定义：n个有次序的数1,42，4m所组成的有序数组 (41,42,.,n)称为一个n维向量。 这n个数称为该向量的n个分量，第个数； 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量 以后我们用小写希腊字母x,B,Y·来代表向量。 2

2 一. n维向量空间 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 1. n 维向量 定义：n 个有次序的数 1 2 , , , n a a a 所组成的有序数组 ( ) 1 2 , , , n a a a 称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的n 个分量，第 个数 称为第 个分量。 i i i a 以后我们用小写希腊字母    , , 来代表向量

例如： (1,2,3,.,n) n维实向量 (1+2i,2+3i,.,n+(n+1)2) →n维复向量 第2个分量 第n个分量 第1个分量 3

3 例如： (1,2,3,  ,n) (1 + 2i,2 + 3i,  ,n + (n + 1)i) n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量

向量通常写成一行：&=(a1,42,n)方 称为行向量。 有时也写成一列： 02 a= 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量(0,0，.，0) 称为零向量。 2.向量的运算和性质 向量相等：如果n维向量a=(41,42,.,4n) B=（b,b2,.,bn) 的对应分量都相等，即，=b(i=1,2,n) 就称这两个向量相等，记为=B

4 向量通常写成一行： ( ) 1 2 , , , n  = a a a 有时也写成一列： 1 2 n a a a      =         称为行向量。 称为列向量。 它们的区别 只是写法上 的不同。 分量全为零的向量 (0,0, ,0) 称为零向量。 2. 向量的运算和性质 向量相等：如果n 维向量 ( ) 1 2 , , , n  = a a a ( ) 1 2 , , , n  = b b b 的对应分量都相等，即 1,2, , ( ) i i a b i n = = 就称这两个向量相等，记为   =

向量加法：向量Y=(41+b1,2+b2,.,4n+bn) 称为向量=(41,42，4n) B=(b1,b2,.,bn） 的和，记为y=a+B 负向量：向量a=(-4,-2,.,-0n)称为向量&的负向量 向量减法：-B=&+(-B) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量(ka1,ka2,kan) 称为向量a=(41,42,.,n) 与数k的数量乘积。记为k0 5

5 向量加法：向量 ( ) 1 1 2 2 , , , n n  = + + + a b a b a b 称为向量 ( ) 1 2 , , , n  = a a a ( ) 1 2 , , , n  = b b b 的和，记为    = + 负向量：向量 ( ) 1 2 , , , n  = − − − a a a 称为向量  的负向量 向量减法：     − = + −( ) 数乘向量：设k为数域p中的数，向量 ( ) 1 2 , , , n ka ka ka 称为向量 ( ) 1 2 , , , n  = a a a 与数k的数量乘积。记为 k

满足运算律： (1)a+B=B+a (5)1·a=a (2)(a+B)+y=(a+B)+Y(6)k(la)=(kl)a (3)a+0=a (7)(k+D)a ka+la (4)a+(-a)=0 (8)k(a+B)=ka+kB 注：(1)对任意的向量，存在唯一的零向量0， 使得a+0=a (2)对任意的向量0，存在唯一的负向量-C, 使得a+（-a)=0 (3)0a=0;(-1)a=-;λ0=0. (4)如果入a=0,则九=0或a=0 6

6 (4) ( ) 0 (3) 0 (2)( ) ( ) (1) + − = + = + + = + + + = +               ( ) (  )          k k k k l k l k l kl + = + + = + =  = (8) (7) (6) ( ) ( ) (5)1 满足运算律： 注：（1）对任意的向量 , 存在唯一的零向量 o, 使得   + = o （2）对任意的向量 , 存在唯一的负向量 −, 使得   + − = ( ) o （4）如果 = 0, 则  = = 0 0 或 （3） 0 0; ( 1) ; 0 0.     = − = − =

3.n维向量空间 定义：设V为n维向量的集合，如果集合y非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合V为向量空间. 说明：集合V对于加法及数乘两种运算封闭指 Va∈V,B∈V,有a+B∈V; Va∈V,Vk∈R,有ka∈V. 例1：3维向量的全体R3是一个向量空间。 维向量的全体R"，,也是一个向量空间

7 3. n 维向量空间 说明:        V k R k V , , . 有    +      V V V , , ; 有 定义： 设 V 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合 为向量空间． n V V V 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 例1：3维向量的全体 是一个向量空间。 3 R n维向量的全体 R n ，也是一个向量空间

例2：判别下列集合是否为向量空间. y={x=(0,.,x)|.,xneR (2={x=(,x,x,1x,x,eR} 解：(a=(0,a,.,a）',B=(0,b,b'∈ 有a+B=(0,4+b,.,n+bn)'∈Y V元eR,有a=(0,a2,.,an'∈Y 所以，V1是向量空间。 (2)V,不是向量空间。 因为若&=(1，a2,nYe'2, 则2a=(2,2a2,.,2an)'V2: 8

8 例2: 判别下列集合是否为向量空间.  ( )   ( )  1 2 2 2 2 2 (1) 0, , , , , (2) 1, , , , , T n n T n n V x x x x x R V x x x x x R = =  = =  解： ( ) ( ) 2 2 1 (1) 0, , , , 0, , , T T n n  = =    a a b b V ( ) 2 2 1 0, , , T n n 有  + = + +  a b a b V ( ) 2 1 , 0, , , . T   =      R a a V 有 n 所以， V1 是向量空间。 (2) V2 不是向量空间。 2 (2,2 , ,2 ) . a2 a V2 T 则  =  n  (1, , , ) , a2 a V2 T 因为若 =  n 

例3：设a,b为两个已知的n维向量，判断集合 V=x=M+b,h∈R是否为向量空间. 解：x1=a+4,b,x2=2a+4b∈V 有x1+x2=(2+22)M+(4+h2)b∈V, Vk∈R,有c1=(k2)a+(k4)b∈V. 所以V是一个向量空间。 (这个向量空间成为由向量a,b生成的向量空间) 一般地，由向量组41,2，.，4m所生成的向量空间为 V={x=元41+，4，+.+元n4m21,元n∈R} 9

9 V = x = a + b,  R 是否为向量空间. 1 2 1 2 1 2 有x x a b V + = + + +  ( ) ( ) ,     1 1 1   = +  k R kx k a k b V , ( ) ( ) . 有   （这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间） V = x = 1a1 + 2a2 ++  mam 1 ,2 ,  , m  R 一般地，由向量组 a a a 1 2 , , , m 所生成的向量空间为 例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合 1 1 1 2 2 2 解：  = + = +  x a b x a b V     , 所以V是一个向量空间

1.线性组合与线性表示 二.线性相关性 2.向量组等价 1.线性组合与线性表示 3.线性相关、无关 4.判断线性相关性的定理 定义1：给定向量组A:01,02,Cm’ 5.线性相关及表示的定理 对于任何一组实数k1,k2,.,km, 向量kC1+k22+.+kmCm称为向量组A的一个 线性组合，k1,k2,.,km称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组A:0c1,C2,.,0m,和向量B 如果存在一组实数入1，入2，.九m, 使得B=几必1+人2a2+.+九mCm 则称向量B是向量组A的线性组合， 或称向量B能由向量组A线性表示。 10

10 1. 线性组合与线性表示 二. 线性相关性 1.线性组合与线性表示 2.向量组等价 3.线性相关、无关 4.判断线性相关性的定理 5.线性相关及表示的定理 定义1：给定向量组 1 2 : , , , , A    m 对于任何一组实数 1 2 , , , , m k k k 向量 1 1 2 2 m m k k k    + + + 称为向量组A的一个 线性组合， 1 2 , , , m k k k 称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组 1 2 : , , , , A    m 和向量  如果存在一组实数 1 2 , , ,    m 使得        = + + + 1 1 2 2 m m 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表示。  