《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第四章 向量组的线性相关性（习题课）

第四章习题课 线性代教

第四章 习题课

本章主要概念 n维向量、向量组， 线性组合与线性表示， 三、 向量组的线性相关性， 四、最大线性无关组、向量组的秩 五、方程组解的性质 六、 齐次线性方程组的基础解系及 它的通解的结构， 七、非齐次线性方程组通解的结构

一、n维向量、向量组， 四、最大线性无关组、 二、线性组合与线性表示， 三、向量组的线性相关性， 本章主要概念 向量组的秩， 五、方程组解的性质， 六、齐次线性方程组的基础解系及 七、非齐次线性方程组通解的结构。 它的通解的结构

典型题型 、判定向量组的线性相关性， 二、求向量组的秩 求向量组的一个最大无关组， 把其余向量用最大无关组表示 三、关于基础解系和解的性质的计 算（证明）问题， 四、求线性方程组基础解系、通解

二、求向量组的秩 四、求线性方程组基础解系、通解。 一、判定向量组的线性相关性， 三、关于基础解系和解的性质的计 典 型 题 型 求向量组的一个最大无关组， 把其余向量用最大无关组表示， 算（证明）问题

判定向量组的线性相关性， ① 对特殊的向量组可锝出结论 例如或两个向量组成的向童鄞 ② 利用定义， ③ 利用矩阵的秩， ④ 利用行列式 例 n维向量41,2，.，a,线性无关的充乡 必要条件是 ()向量组中没有零向量： (b)向量组中向量个数n

一、判定向量组的线性相关性， 对特殊的向量组可以直接得出结论。 例如一(或 两)个向量组成的向量组， 等。 利用定义， 利用行列式, 例1 , , , n维向量a1 a2  as 线性无关的充分 (a) ① ② ③ 利用矩阵的秩， ④ 必要条件是 向量组中没有零向量， (b) 向量组中向量个数s  n

(c向量组中任一向量能庙其余s-1 个向量线性表示 (d)向量组中有一向均由其余s-1 个向量线性表示 解有零向量的向量组线链相关阻几个 非零向量不一定线无)是必要条 n-1个n维向量一定线性相！n-1 向量不一定线性无祕也是必要条 同理)也不正确 故c)是正确的

(c) 个向量线性表示, 故(c)是正确的。 (d) 解有零向量的向量组必定线性相关，但几个 (a)是必要条件， n −1个n维向量一定线性相关，但n − 1 (b)也是必要条件； 同理(d)也不正确; 向量组中任一向量均不能由其余s − 1 向量组中有一向均不能由其余s −1 个向量线性表示, 非零向量不一定线性无关 ， 向量不一定线性无关；

例2已知a,o2,a3线性无关证明： 1+a2,32+2a3,a1-2a2+C3 线性无关。 证明设有数k1,k2,k3使 (a1+a2)+k2(3a2+23)+k3(a1-2a2+3)=0 即 (k1+k3)a1+(k1+3k2-2k3)a2+(2k2+k3)a3=0 由c1,a2,a3线性无关得 k1+k3=0 k1+3k2-2k3=0→k1=k2=k3=0 2k2+k3=0 所以线性无关

例2已知1 ，2 ，3 线性无关，证明: , 1 + 2 3 2 , 2 + 3 1 − 22 +3 线性无关。 设有数k1 ,k2 ,k3 使 k1 (1 +2 )+ k2 (32 + 23 )+ k3 (1 − 22 +3 ) = 0 即 (k1 + k3 )1 + (k1 + 3k2 − 2k3 )2 + (2k2 + k3 )3 = 0 证明由1 ，2 ，3 线性无关，得 k1 = k2 = k3 = 0 k1 + k3 = 0 k1 + 3k2 − 2k3 = 0        2k2 + k3 = 0 所以线性无关

例3 已知向量组=(1,1,2,1)T,2=(1,0,0,2) o3=(-1,-4,-8,k)T线性相关求k? 解由已知向量麵成矩阵 11 -1 -4 0 -1 -3 A=(C1,02,03)= 2 0 -8 0 -2 -6 12 0 1 k+1 当k=2时， 0 -3 0 0 k-2 R(A)=2<3, 0 0 向量组c1,a2,a3线性相关

例3 已知向量组 (1,1,2,1) , 1 T  = 线性相关，求k ? 由已知向量组构成矩阵 ( , , ) A = 1 2 3 (1,0,0,2) , 2 T  = T ( 1, 4, 8,k) 3 = − − − 解               − − − = 1 2 k 2 0 8 1 0 4 1 1 1               + − − − − − 0 1 1 0 2 6 0 1 3 1 1 1 k               − − − − 0 0 0 0 0 2 0 1 3 1 1 1 k 当k = 2时， ～ ～ R(A) = 2  3, 向量组1 ,2 ,3 线性相关

例4已知向量组 3 0 0C1= ,02= b03= 2 线性相关求的值。 2 解由于a1, 023 必3线性相关赦行列式 1 3 0 1 0 0 1 t 2 =1 t-32 =-2+3t+10=0 21t 2 -5 -t 解得=5或t=-2

例4 已知向量组           =           =           = t t 2 0 , 1 3 , 2 1 1 1  2  3 线性相关，求t的值。 解由于1 ，2 ，3 线性相关，故行列式 t t 2 1 1 2 1 3 0 = t t − − − 2 5 1 3 2 1 0 0 3 10 2 = − t + t + = 0 解得t = 5 或t = −2

例5设a41=(1,-2,0,3)7 ①求向量组的秩， 2=(2,-5,-3,6) ②判定它的线性相关忄 ③求它的一个最天无方 a%3=(0,1,3,0)T ④并将其余向量表成茸 x4=(2,-1,4,-7)2 无关组的线性组合： s=(5,-8,1,2)7 解釉向量组构成矩阵 202 5 -2 -51-1 -8 A=(01,02,03,04,x5)= 0 -33 41 3 6 -7 2

例5设 T (1, 2,0,3) 1 = − T (2, 1,4, 7) 4 = − − T (5, 8,1,2) 5 = − 求向量组的秩， 判定它的线性相关性， 求它的一个最大无关组， 无关组的线性组合。 并将其余向量表成最大 由向量组构成矩阵 ( , , , , ) A = 1 2 3 4 5   − − − − − − = 3 6 0 7 2 0 3 3 4 1 2 5 1 1 8 1 2 0 2 5 T (0,1,3,0) 3 = T (2, 5, 3,6) 2 = − − ①②③④ 解

2 0 2 5 2 0 2 5 -2 -5 1 -1 -8 0 -1 3 2 0 -3 3 4 1 0 -3 3 4 1 3 6 -7 2 0 0 0 -13-13 1 2 02255 1 0 2 0 1 0 -11332 2r 01 -1 0 001515 0 0 0000101 00 0 0 0 向量组的秩划<5)，向量组线性相关， 一个最大无关绳1,2，a43 a3=201-02,a5=1+02+a4

向量组的秩为3( 5),               − − − − − − 3 6 0 7 2 0 3 3 4 1 2 5 1 1 8 1 2 0 2 5 向量组线性相关， ～ r               − − − − 0 0 0 13 13 0 3 3 4 1 0 1 1 3 2 1 2 0 2 5               − − − 0 0 0 1 1 0 0 0 5 5 0 1 1 3 2 1 2 0 2 5 ～ r               − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 3 2 1 2 0 2 5 ～ r               − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 2 0 1 一个最大无关组 2 , 3 = 1 −2 , , , 1  2 4 . 5 = 1 +2 +4