《线性代数》课程PPT教学课件（同济第五版）第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第二节 矩阵的秩

第二节矩阵的秩 线性代教

第二节 矩阵的秩

矩阵秩的概念 定义1在m×n矩阵A中，任取k行k列 (k≤m,k≤m),位于这些行列效处的2个 元素，不改变它们在中所的位置次府得 的k阶行列式称为阵A的阶子式。 例如 A的一个二阶子式 =38, 1 23 A有一个三阶子史3-5=10. A的一个一阶子式5=-5 4

一、矩阵秩的概念 定义1 在m n矩 阵A中 ，任取k行k列 (k  m,k  n),位于这些行列交叉处的 元素，不改变它们在A中所处的位置次序 的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。k 2 个 而得 例如 , 4 7 1 2 3 5 1 2 3           A = − A的一个一阶子式− 5 = −5 38, 7 1 3 5 = − A的一个二阶子式 10. 4 7 1 2 3 5 1 2 3 A有一个三阶子式 − =

mxn矩阵A的k阶子式共有●C东个 定义4 设在矩阵A中有一个不等的r阶子式D, 且所有r+1阶子式（如果存在酫等等， 那末D称为矩阵4的最高阶非零子式数r称为 矩阵A的秩记作R(A). 规定零矩阵的秩等研 说明①)由行列式的性质在A中当所有r+1阶 子式全等时，所衔高阶除战等铨筹d。 因此把阶非式称为最阶非零子式 m×n矩阵A的秩R(A)就是A中非零子式日 最高阶数

m n 矩 阵A的k 阶子式共有 个. k n k Cm •C 定义4 设在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子 式D, 且所有r + 1阶子式（如果存在的话）全等等于0， 那 末D 称为矩阵A的最高阶非零子式, 数r称为 矩阵A的秩，记作R(A). 规定零矩阵的秩等于0. 说明（1） 所有r + 2阶子式等于多少？为0. 由行列式的性质知,在 A中当所有r +1阶 子式全等于0时，所有高于r +1阶子式 最高阶数。 也全等于0， 因此把r阶非零子式称为最高阶非零子式, m n 矩 阵A的 秩R (A) 就 是A中非零子式的

说明2) 由于RA)是A的非零子式的最高阶鸯 因此，若矩阵私中有某个s阶子式不为， 则R(A)≥S; 若矩阵A中所有阶子式全， 则R(A)<t. 说明3) 若A为mx矩阵则b≤R()≤min{m,n. 说明4)对于A',其子式和4的子式对应相等 从而R(A)=R(A). 说明6) 对于n阶矩阵A,由于A的n阶子式只有一斜

对于A T ，其子式和A的子式对应相等， R(A ) R(A). T 从而 = 说明（2） 由 于R(A)是A的非零子式的最高阶数， 因此，若矩阵A中有某个s阶子式不为0， 则R(A)  s; 若矩阵A中所有t阶子式全为0， 则R(A)  t. 说明（3）若A为mn矩阵，则0  R(A)  minm,n. 说明（4） 说明（5）对 于n阶矩阵A,由 于A的n阶子式只有一个A

故当A≠0时R(A)=n, 当A=0时R(A)<n. 可见n阶方阵4可逆台A≠0 台R(A)=n 即A的秩为n. 1 23 02 3 例如 A= 2 3-5 A=23-5=-18≠0， 7 47 1 故R(A)=n,A可逆

18 0, 4 7 1 2 3 5 0 2 3 A = − = −  故当A  0时 可见 n阶方阵A可逆           = − 4 7 1 2 3 5 1 2 3 A 故 R(A) = n, A可逆。 R(A) = n, 当 A = 0时 R(A)  n.  R(A) = n 即A的秩为n.  A  0 例如

2 3 例1求矩阵A= 23-5 的秩 471 解 在中， 又·A的3阶子式只有一个A,且A=0, ∴.R(A=2

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

例2求矩阵B= 的秩。 解.·B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行， :.B的所有4阶子式全为零. 2-13 而03-2≠0， .R(B)=3. 0 0 4 (恰好和A的非零行的行数样

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3. ( 恰好和A的非零行的行数一样)

例3 已知A= 求该矩阵的秩， 13 解 02 =2≠0，计算A的3阶子式， 1 3 -2 1323-2 2 -2 2 0 2 -1=0023≡0，-1 3≡00 -1 3=0, -20 1-2 05015-2 15 =0. ∴.R(A)=2

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

二、矩阵秩的求法 从以上三例可知，对般的矩铛行数和列数较高册 用定义求秩是很麻烦的算很多行列想从我们也看至 对行阶梯形矩咤秩就等于非霉的数一看便知毋须计 因此就想到把要求的阵与行阶梯矩阵来从我们所学 内容可知任何非零轲用初等变换化梯矩等价 问题是这两个等价的秩相等吗？看定理： 定理2若A~B,则R(A)=R(B). 先证明：若4经一次初等行变换变的 则R(A)≤R(B). 设R(A)=r,且A的某个r阶子式D,≠0

二 、矩阵秩的求法 从以上三例可知，对于一般的矩阵，当行数和列数较高时， 用定义求秩是很麻烦的（计算很多行列式）。但从例2我们也看到 对于行阶梯形矩阵，它秩就等于非零行的行数，一看便知毋须计算。 因此就想到把要求秩的矩阵与行阶梯矩阵联系起来，从我们所学 内容可知任何非零矩阵均可用初等变换化为行阶梯矩阵，(等价) 问题是这两个等价的矩阵的秩相等吗？看下面的定理： 定理2 若A ～ B, 则R(A) = R(B). 先证明：若A经一次初等行变换变为B， 设R(A) = r， 则R(A)  R(B).  0. Dr 且A的某个r 阶子式

当AB或AxB时， 在B中总能找到与D,相对应的子式D,· 由于D,=D.或D,=-Dn或D,=kD, 因此D≠0，从而R(B)≥. 当AB时，分三种情况讨论 ①D中不含第i行； (2) D中同时含第i行和第i行； (3) D中含第i行但不含第i行； 上一页G入不页返首页

当A B或A B时 ， 当A B时，分三种情况讨论：r ,. 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D , r r r r r 由于 Dr = D 或 D = −D 或 D = kD D 0 R(B) r. 因此 r  ，从而  （） 中含第 行但不含第 行； （） 中同时含第 行和第 行； （） 中不含第 行； D i j D i j D i r r r 3 2 1 上一页 下一页 返回首页 ～ i j ～ r  r ri  k ～ i krj r +