《高等数学》课程教学课件（讲稿）11-1-7对坐标曲面积分计算

第十一章 曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分

第七讲 坐标曲面的积分

曲线积分与曲面积分 第七讲 对坐标曲面的积分

曲线积分与曲面积分 1.对坐标的曲面积分的计算法 定理：设光滑曲面∑：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy取上侧， R(x,y,z)是∑上的连续函数，则 R,y④axdy R(x,y,z(x,y))dx dy

曲线积分与曲面积分 1.对坐标的曲面积分的计算法

曲线积分与曲面积分 说明：如果积分曲面口取下侧，则 fg(.y.)dxdy-.xdy ·若L:x=xyz,yz)e Dy, 则有 儿Pwx.dyda=±pr08 n)dydz (前正后负) ·若∑y=y2x),(2X)∈Dx, 则有 Locxzax-l儿Gaiz (右正左负)

曲线积分与曲面积分 • 若 ∑:ᵆ = ᵆ (ᵆ ,ᵆ ), (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ ᵆᵆ , 则有 • 若 ∑:ᵆ = ᵆ (ᵆ ,ᵆ ), (ᵆ ,ᵆ ) ∈ ᵃ ᵆᵆ , 则有 (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 ￾ 取下侧, 则

曲线积分与曲面积分 例1.计算 (x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy 其中∑是以原点为中心，边长为α的正立方 体的整个表面的外侧 解：利用对称性 原式-3‖ (z+x)dxdy 的顶部 :z=kls7.lyls9取上侧 的底部 22:z=-x≤，Ms号取下侧 =3e+功dxdy+儿e+dxd 3瓜经+axy-儿受+ddy3和 dxdy =3a JDxy

曲线积分与曲面积分 例1. 计算 体的整个表面的外侧. 解: 利用对称性. 原式 ￾的顶部 取上侧 ￾的底部 取下侧 = 3ᵄ 3 ᵆ ᵆ ᵆ

曲线积分与曲面积分 例2.计算曲面积分 xyzdxdy,其中为球面 2 2 X+y+2=1 外侧在第一和第八卦限部分. 思考：下述解法是否正确： 根据对称性 解：把分为上下两部分 ∑1：z=-V1-x2-y2 ∑2：z=√1-x2-y2 een到

曲线积分与曲面积分 解: 把 ￾分为上下两部分 根据对称性 思考: 下述解法是否正确: 例2. 计算曲面积分 其中 ￾为球面 外侧在第一和第八卦限部分. ᵆ 2 + ᵆ 2 + ᵆ 2 = 1

曲线积分与曲面积分 dxdy+y =-∬y(1-2-吗]dxdy+n-严dxdy =2∬w1-2-dxdy -2 sim0cos0-rrdrdo =2/ 15

曲线积分与曲面积分 = 2 15

曲线积分与曲面积分 例3.设S是球面x2+y2+z2=1的外侧，计算 1=∬ 2dydz dzdx dxdy + cos2 y zcos2 z 解：利用轮换对称性，有 1=- dxdy c2+y2≤1 2π rdr =2 VI-r2 cos2V dv1-72 cos2 0 4πtan1

曲线积分与曲面积分 的外侧 , 计算 解: 利用轮换对称性, 有

曲线积分与曲面积分 2. 两类曲面积分之间的联系 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy P(AS+5(AS +R(5,n,)(AS)xy] 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 =期》P(5i,n,)cosa+Q(5,)cosR +R(si,ni,Si)cos Yi]ASi -儿Peosa+QcaosB+RcosWa5

曲线积分与曲面积分 2. 两类曲面积分之间的联系 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画

曲线积分与曲面积分 Pdydz+Qdzdx+Rdxdy -(P)dS 令A=(P,Q,R),元=(cosa,cosB,cosY) ds=nds=(dydz,dzdx,dxdy) 向量形式 e (A在元上的投影)

曲线积分与曲面积分 向量形式