《高等数学》课程教学课件（讲稿）11-1-1曲线积分与曲面积分

第十一章 曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分 第十一章 曲线积分与曲面积分

第一讲 对弧长的曲线积分的概念与性质 水

曲线积分与曲面积分 第一讲 对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线积分与曲面积分 1.对弧长的曲线积分的概念 引例1：曲线形构件的质量 1B 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB，其线密度为p(x,y,z), M 为计算此构件的质量，采用 (传5k “大化小，常代变近似和，求极限 可得M=∑p3,s,3Asx k=1

曲线积分与曲面积分 1.对弧长的曲线积分的概念 ᵃ ᵃ 假设曲线形细长构件在空间所占 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限 ” 可得 ᵄ = 为计算此构件的质量, ᵮ ᵆ ᵅ ᵄ ᵅ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ ) 引例1: 曲线形构件的质量 采用

曲线积分与曲面积分 定义1.设是空间中一条有限长的光滑曲线，fxy)是 定义在止的一个有界函数，若通过对的任意分割和对 局部的任意取点，下列“乘积和式极限' 店kk5k 6aa尼作rcxy习a: 都存在，则称此极限为函数fxy) 在曲线 M 止对弧长的曲线积分，或第一类曲线积分. Mk-1 fxyz) 称为被积函数，口称为积分弧段 曲线形构件的质量M=px,y)ds

曲线积分与曲面积分 ᵮ 设 ￾是空间中一条有限长的光滑曲线, 定义在 ￾上的一个有界函数, 都存在, ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) ￾上对弧长的曲线积分, = 记作 若通过对 ￾的任意分割和对 局部的任意取点, 定义1. ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ )是 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. ᵅ(ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) 称为被积函数，￾ 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 ᵮ ᵆ ᵅ ᵄ ᵅ ( ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ , ᵰ ᵅ )

曲线积分与曲面积分 如果L是xoy面上的曲线弧，则定义对弧长的曲线积 分为 Lrendx ∑f5,k)As k=1 如果L是闭曲线，则记为 f(.y)ds. 思考： (1)若在L上f(x,y)≡1，问∫ds表示什么？ (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？ 否！对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中 dx可能为负

曲线积分与曲面积分 则定义对弧长的曲线积 分为 思考: (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 但定积分中

曲线积分与曲面积分 2.对弧长的曲线积分的性质 ①fx,ya习±g0gg ]ds -fyds±厂gGx,y习ds 2) [kfx,y)ds=kfx,y.2)ds(k为常数 (3) [rus=人rcy习as+f9as (由Γ，组成) (4) 厂ds=l(1为曲线r的长度

曲线积分与曲面积分 ( ￾由 ᵮ 组成) 1 , ᵮ 2 ±ᵅ (ᵆ ,ᵆ ,ᵆ ) = ᵅ 2.对弧长的曲线积分的性质

曲线积分与曲面积分 3.对弧长的曲线积分的计算 基本思路：求曲线积分 转化，计算定积分 定理：设f(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t,y=y(t)(a≤t≤β) 上的连续函数，则曲线积分f(x,y)ds存在，且 f.ds-dt

曲线积分与曲面积分 3.对弧长的曲线积分的计算 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 且 ᵆ = ᵱ (ᵆ)  (ᵯ ≤ ᵆ ≤ ᵯ ) 上的连续函数, 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 ᵃ :ᵆ = ᵱ (ᵆ), 求曲线积分

曲线积分与曲面积分 说明： (1)△Sk>0,4tk>0,因此积分限必须满足 a<B! (2)注意到 ds=v(dx)2+(dy)2 y =√Φ2(t)+'2(t)dt ds dy dx X X 因此上述计算公式相当于“换元法

曲线积分与曲面积分 ᵆ ᵆ ᵅ 说明: (1) ∵ ᵮ ᵆ ᵅ > 0, ∴ ᵮ ᵆ ᵅ > 0, 因此积分限必须满足 ᵯ <ᵯ ! (2) 注意到 ᵆ 因此上述计算公式相当于“换元法

曲线积分与曲面积分 如果曲线L的方程为y=(x)(a≤x≤b), 则有 [rc0as=rcxw00》i+v网ax 如果方程为极坐标形式：L:r=rO)(a≤0≤β)， 则 r@nds =f0(0)cos9,r(0)sin0)Vr2(8)+r20d8

曲线积分与曲面积分 ᵆ = ᵱ (ᵆ ) (ᵄ ≤ ᵆ ≤ ᵄ ), 则有 如果方程为极坐标形式: ᵃ : ᵅ = ᵅ(ᵰ ) (ᵯ ≤ ᵰ ≤ ᵯ ), 则

曲线积分与曲面积分 推广：设空间曲线弧的参数方程为 :X=p(t),y=(t),z=o(t)(a≤t≤B) 则f(x,y,z)ds =f(φ()，4()，w(t)VΦ2()+2()+w2(石dt

曲线积分与曲面积分 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 ᵮ : ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ), ᵆ = ᵱ (ᵆ) (ᵯ ≤ ᵆ ≤ ᵯ ) 则