《高等数学》课程教学课件（讲稿）7-2可分离变量的微分方程

微 分 方 程

第二讲 主讲人：卢自娟 可分离变量的微 分方程

微 分 方 程 第二讲 可分离变量的微 分方程 主讲人：卢自娟

微分方程 1.比例的基本性质 性质1：若a,b,c,d都不为零，且ad=cb则下列 各式等价： ad he → 4-b 二 4-e 一 b-a b a → d b

微 分 方 程 1. 比例的基本性质 ᵈᵈ = ᵈᵈ ⟺ ᵈ ᵈ = ᵈ ᵈ ⟺ ᵈ ᵈ = ᵈ ᵈ ⟺ ᵈ ᵈ = ᵈ ᵈ ⟺ ᵈ ᵈ = ᵈ ᵈ

微分方程 2.可分离变量的微分方程 定义1：形如=f(x)gy)的微分方程称为可离 变量的微分方程。 解法： (1)变量分离 dy f(x)dx g(y) (2)两边同时积分 ∫g-∫eoa

微 分 方 程 2.可分离变量的微分方程 解法： (1)变量分离 (2)两边同时积分

微分方程 例1：把下列微分方程变量分离。 (1)xy'-2ylny 0 (2)y'+2x=sinx 解： xy'=2ylny 解 y'=sinx-2x ←→ 2ylny → 1 =r-2x 1 d dy 2ylny → d=(cix-2x） dx X dy dx 2ylny X

微 分 方 程 例1：把下列微分方程变量分离。 解: ⟺ ⟺ ⟺ 解: ⟺ ⟺ ᵈᵉ = (ᵉᵈᵈᵉ − ᵽ ᵉ )ᵈᵉ ᵈᵉ ᵈᵉ = ᵉᵈᵈᵉ − ᵽ ᵉ

微分方程 (3)1-x2dy =1-y2dx (4)dy+2xdx exdx 解 V1-x2dy_/1-y2dx 解 d=e c-2xk 1 1 dy dx ←→ √1-y2V1-x2 ←=dy=(ex-2x)dx (5)dy ex-2ydx exdx 解 dy= e2y e2ydy exdx

微 分 方 程 解: ⟺ 解: ⟺ ᵈᵉ = ᵈ ᵉ ᵈᵉ − ᵽ ᵉᵈᵉ 解: ⟺ ⟺

微分方程 例2：求下列微分方程的通解。 (1) dy_y d X 解： 变量分离 更=k 两边同时积分 ∫ 得：Inlyl=lnlx+c1←emy=ec1elnx y=G当C取0时原方程也成立。 y=G为该微分方程的通解

微 分 方 程 例2： 求下列微分方程的通解。 解: 变量分离 两边同时积分 得: 为该微分方程的通解. ᵈᵉ ᵉ = ᵈᵉ ᵉ ⟺ ᵉ = ᵆᵉ ᵉ = ᵆᵉ

微分方程 dy (2) dx 2xy2 解 变量分离 dy 2xdx 两边同时积分 ∫g-j2ax 得 _1-x2+C。 1 y=-x2+C 1 y=一 x2 C C为任意常数，为该微分方程的通解

微 分 方 程 解: 变量分离 两边同时积分 得 C为任意常数，为该微分方程的通解. − ᵼ ᵉ = ᵉ ᵽ + ᵆ ⟺

微分方程 (3)(1+x2)dy+xydx=0 dy xdx 解：变量分离 y 1+x2 两边同时积分 得a=-引-∫ 1 一mly=-2m(1+x2)+C1一 y= 1+x2 ,C为任意常数，为该微分方程的通解

微 分 方 程 解: 变量分离 两边同时积分 得 ⟺ ⟺

微分方程 例3：求下列微分方程袋=y严sm满足初始条件 y川x=0=-1的特解。 解：变量分离 dy y2 sinxdx 两边同时积分 g-∫sinxdx 得-1-x+C 1 →y= coSx-C 由初始条件y儿x=0=-1可得常数C=2 原方程的特解为y= 1 cosx 2

微 分 方 程 例3： 解: 变量分离 两边同时积分 得 − ᵼ ᵉ = − ᵈᵉᵉᵉ + ᵆ ⟺ 原方程的特解为