《高等数学》课程教学课件（讲稿）7-9欧拉方程

微 分 方 程

第九讲 欧拉方程

微 分 方 程 第九讲 欧 拉 方 程

微分方程 1.欧拉方程 形如xnym+p1xn-1yn-1)++pn-1xy'+pny=f(x) 的方程称为欧拉方程(p1,p2,.卫n为常数). 解法：作变换x=e,t=nx(x>0) dy =dy,dt =1.dy dx dt dx x dt 器京常-3+2 dx3 dy=D"y,可得

微 分 方 程 1.欧拉方程 形如 解法：

常微分方程 xy'=Dy, xy=D'y-B =D(D-1, 2 x3y'=D3y-3Dy+2Dy=D(D-1)(D-2)y, xym=D(D-1)(D-2).(D-n+1)y, 把上述代入欧拉方程，就得一个常系数线性微分方程， 求出这个方程的解后，把t换成nx,即得原方程的解

微 分 方 程 ᵉ ᵽ ᵉ ′′ = ᵆ ᵽ ᵉ − ᵆᵉ = ᵆ (ᵆ − ᵼ )ᵉ , . 把上述代入欧拉方程，就得一个常系数线性微分方程

微分方程 例1.求方程x3y'+x2y'-4xy=3x2 解：作变换x=e,t=lmx(x>0),原方程化为 D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=3e2t 化简得(D3-2D2-3D)y=3e2t 特征方程为 r-2r-3r=0,特征根为r1=0,r2=-1,r3=3 特解为y*=Ae2t,(y*)'=2Ae2t,(y*)'=4Ae2t,(y*)"=8Ae2t, 代入化简后得方程得 8Ae2t-8Ae2t-6Ae2t=3e2t 得A=-把x=e代入通解得 y=C1+x

微 分 方 程 例1. 解: 原方程化为 化简得 特征方程为 ᵉ ᵽ − ᵽ ᵉ − ᵽ ᵉ = ᵼ ， 代入化简后得方程得

常分方程 2.常系数线性微分方程组解法举例 dy =3y -2Z 例1.解微分方程组 dx dz =2y-z 解：用记号D表示品，则方程组可记作 w=3y-2z,-Dy=8Dz- Dy=Dz-iz 2 2 Dz=2y-z’ y=Dz Dy=D2z+iDz Dz+a=30-z→Dz-2a+z=0 特征方程为r-2r+1=0,z=exC1+xe*C2 Dz=eC1+xe*Cz+eCz y=ie*Cz+e*C1+xe*Cz

微 分 方 程 2.常系数线性微分方程组解法举例 例1.解微分方程组 解： ᵆ ᵽ ᵉ + ᵆᵉ = ᵽ ᵆᵉ − ᵉ ᵆ ᵽ ᵉ − ᵽ ᵆᵉ + ᵉ = ᵼ 特征方程为 ᵉ ᵽ − ᵽ ᵉ + ᵼ = ᵼ

微分方程 课堂小结 欧拉方程的解法： 代换

微 分 方 程 课堂小结 欧拉方程的解法： 代换

工作人员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张晗

微 分 方 程 工 作 人 员 总策划：卢自娟 主讲人：卢自娟 脚本策划：卢自娟 李达玲 里提甫·玉素甫 张 晗