《高等数学》课程教学课件（讲稿）12-1-2常数项级数的概念与性质

第二讲 常数项级数的性质

无 穷 级 数 第二讲 常数项级数的性质

无穷级数 1.常数项级数的性质 00 性质1.若级数 un收敛于S,则级数 cun收敛于cS. n=1 m=1 说明：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 00 00 性质2.设有两个收敛级数》 un收敛于s,∑n收敛于o, n=1 n=1 00 则级数 ∑(un士vn)收敛于S士o. n=1

无 穷 级 数 1.常数项级数的性质 性质1. 若级数 则级数 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变. 性质2. 设有两个收敛级数 则级数

无穷级数 说明： (1)性质2表明收敛级数可逐项相加或减. (2)若两级数中一个收敛一个发散，则 ∑ un士vn)必发散 m=1 00 但若两个级数都发散 ,)(un±vn)不一定发散 n=1 例如，两个级数的一般项相同(un=vn)或互为相 反数时(un=-vn)·

无 穷 级 数 说明: (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 但若两个级数都发散

无穷级数 性质3.在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数的敛散性 00 00 证：将级数 u的前k项去掉，所得新级数〉， Un+k n=1 n=1 n 的部分和为on=∑ uk+l=Sn+k-Sk 由于n→oo时，0n与Sn+k极限状况相同，故新l旧两级数敛散性相同. 当级数收敛时，其和的关系为σ=S一Sk·

无 穷 级 数 性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性. 证: 将级数 的部分和为

无穷级数 性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和： 因为若对收敛级数按某一规律加括弧，新级数的部分和序列 为原级数部分和序列的一个子序列，因此必有新级数与原级 数收敛于相同值。 推论：若加括弧后的级数发散，则原级数必发散， 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 如：(1-1)+(1-1)+(1-1)+.=0， 但1-1+1-1+.发散

无 穷 级 数 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和. 因为若对收敛级数按某一规律加括弧，新级数的部分和序列 为原级数部分和序列的一个子序列,因此必有新级数与原级 数收敛于相同值。 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛

无穷级数 2.级数收敛的必要条件 设收敛级数s-∑u,则必有limn=0. n=1 证：若lim Sn=S,un=Sn-Sn-1, n→c∞ :limun=limSn -limSn-1=S-S =0 n→c0 n-→00 n→c0 若级数的一般项不趋于0，则级数必发散

无 穷 级 数 2.级数收敛的必要条件 设收敛级数 则必有 证: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散

无穷级数 举例 例1.判定下列级数的敛散性 1234 n 23+45+.+(←1)”n+1+. 解：im山=m(-”n+7关 所以该级数发散

无 穷 级 数 举例 例1. 判定下列级数的敛散性. 解： 所以该级数发散

无穷级数 3.调和级数 00 1=1+ 111 1 1 级数 +3+4+ 十.十二十.称为调和级数 5 n=1 例2：证明调和级数是发散的. 证：假设调和级数收敛于S,则 S2n-Sn 1 ,+1 n 1 n+1n+2 +. 2n >2n=2 与假设limS2n-limSn=S-S=0相矛盾 n-→0 故假设不成立，调和级数发散

无 穷 级 数 3.调和级数 级数 例2：证明调和级数是发散的. 称为调和级数. 证: 假设调和级数收敛于 S , 则 与假设 相矛盾， 故假设不成立，调和级数发散

无穷级数 举例 例3.判定下列级数的敛散性， 11 1 1 1 2-+313+1十4-141+ 解：考虑加括号后的级数 1)+品1)+()+ =2(1++号++.+日+.）=级数发散。 由性质4的推论可知：原级数发散

无 穷 级 数 举例 例3. 判定下列级数的敛散性. 解： 考虑加括号后的级数 级数发散. 由性质4的推论可知：原级数发散

无穷级敛 基础练习 1. 下列哪个级数是收敛的？ (D) 5 A. n=1 00 B. (-1)m n=1 00 C, n=1

无 穷 级 数 基础练习 1. 下列哪个级数是收敛的？ √ (ᵆ )