电子科技大学应用数学学院：《数学建模》例 2. 录像机磁带计数器模型 （徐全智）

例2.录像机磁带计数器模型(P71例7.3.2) 在一台录像机上有一个四位数字的记数器 1在磁带开始运行时设置为“0000”,“180分钟” 结束时显示读数为“1849”,实际所花的时间为185分 20 秒 2.记数器从“0084”转到“0147”时用了3分21 秒的时间 现在记数器上显示为“1428”,问余下的磁带是否 足够再记录60分钟长的节目? 通过一系列分析写出记数器读数n和所花时间t 的经验公式 m()=2mnw+)12-r1 元 其中w一录象带的厚度;r转动轴半径;转 动速度; k显示读数和旋转周数的比例系数 通过分析进一步简化模型,使所含的未知参数尽 可量少,用很少的几个数据求得参数的估计值 令 a=2k√mv/w,B=m2/wv, 上式化为

例 2. 录像机磁带计数器模型 （P71 例 7.3.2） 在一台录像机上有一个四位数字的记数器. 1.在磁带开始运行时设置为“0000”，“180 分钟” 结束时显示读数为“1849” ,实际所花的时间为 185 分 20 秒. 2. 记数器从“0084”转到“0147”时用了 3 分 21 秒的时间. 现在记数器上显示为“1428”，问余下的磁带是否 足够再记录 60 分钟长的节目？ 通过一系列分析写出记数器读数 n和所花时间 t 的经验公式 [( ) ] 2 ( ) 2 1/ 2 r r wvt w k n t = + − −   其中 w —录象带的厚度；r —转动轴半径；v—转 动速度； k—显示读数和旋转周数的比例系数. 通过分析进一步简化模型，使所含的未知参数尽 可量少，用很少的几个数据求得参数的估计值. 令  = 2k v / w ， / , 2  = r wv 上式化为

n()=a(t+B-√B) 式中仅含两个参数a、B.可利用的数据如下 时间t0 t1+335 185.33 读数m()0 0084 0147 1849 =0,m=0是模型的初始条件将后三组数据代入, 得关于t1,a与B的三元方程组: a(√185.33+B-√B)=1849, t1+B-√B)=0084, a(√41+335+B-√B) 此方程求解很困难,寻求更好的方法 (*)式是n=m(t)的函数形式,将其改写成为t=t(m) 的反函数形式,有 +B n(t 或 者

n(t) =( t +  −  ) （*） 式中仅含两个参数α、β.可利用的数据如下： 时间 t 0 t1 t1+3.35 185.33 读数 n(t) 0 0084 0147 1849 t=0，n=0 是模型的初始条件,将后三组数据代入, 得关于 t1,α与β的三元方程组：        + + − + − = + − = ( 3.35 ) ( ) 0084, ( 185.33 ) 1849, 1 1          t t 此方程求解很困难，寻求更好的方法. （*）式是 n=n(t)的函数形式，将其改写成为 t=t(n) 的反函数形式，有   +  = + n(t) t 或 者

n(t) +B2-B=1o)2+ym( 得到关于m()和t的等价形式 t=an+ bn 其中a,b为未知参数 代入数据经整理得 (1849)2a+(1849)b=185.33, (84)2a+(84)b=t1, (147)a+(147)b=t1+3.35. 从中消去t得 (1849)2a+1849b=185.33, 1455a+63b=3.35 解得a=2.908×105,b=0.046456,得经验模型: t=0.00002908m2+0.046456n 思考:式子中a的数值远远小于b的数值,是否 能消去am2项? 模型分析考虑式中的数量级,若m~O(103),则 有 an2~O(10-5×109)~O(10)

[ ( )] ( ) 1 ) ( ) ( 2 2 2 n t n t n t t       = + − = + 得到关于 n(t)和 t 的等价形式 t = an + bn 2 其中 a，b 为未知参数. 代入数据经整理得        + = + + = + = (147) (147) 3.35. (84) (84) , (1849) (1849) 185.33, 1 2 1 2 2 a b t a b t a b 从中消去 t1 得     + = + = 1455 63 3.35. (1849) 1849 185.33, 2 a b a b 解得 a=2.908×10－5 ，b=0.046456，得经验模型： t=0.00002908n 2＋0.046456n 思考：式子中 a 的数值远远小于 b 的数值，是否 能消去 an2 项？ 模型分析 考虑式中的数量级，若 n～O(103 )，则 有 an2～O(10－5×106 )～O(10)

b~O(10-2×103)~O(10) 两项具有相同的数量级,因此两项都必须保留 问题解答:当m=1428时,t的值为 t=0.00002908×1428 0.046456×1428=125.64 剩余的总记录时间是 18533-1256459.64(分) 根据我们建立的模型运算结果表明,剩下的录像磁带 已不再够录入60分钟的节目

bn～O(10－2×103 )～O(10). 两项具有相同的数量级，因此两项都必须保留. 问题解答：当 n=1428 时，t 的值为 t=0.00002908×14282 ＋ 0.046456×1428=125.64 剩余的总记录时间是 185.33－125.64=59.64（分） 根据我们建立的模型运算结果表明，剩下的录像磁带 已不再够录入 60 分钟的节目