电子科技大学应用数学学院：《数学建模》例 4.2 单摆运动（徐全智）

例4.2单摆运动 单摆运动这是大家熟知的物理现象,将质量为 m的一个小球系在长度为l的线的一端,稍偏离平 衡位置后小球在重力mg的作用下(g为重力加速 度)做往复摆动.忽略阻力求摆动周期t的表达式 求解考虑问题中出现的物理量t、m、l、g,假设 它们之间有关式 amilan 其中a1,a2,a3是待定常数,A是无量纲的比例常 数.上式的量纲表达 式为 =Im 将[t=T,|m=M,||=L,|g=T2代入得 T=Ma La2tasT-2a3 (2) 按照量纲齐次性,有 1 0 )+a 3 2 3 求解为a1=0,a2 代入式(1)得

例 4.2 单摆运动 单摆运动这是大家熟知的物理现象，将质量为 m 的一个小球系在长度为 l 的线的一端，稍偏离平 衡位置后小球在重力 mg 的作用下（g 为重力加速 度）做往复摆动. 忽略阻力,求摆动周期 t 的表达式. 求解 考虑问题中出现的物理量 t、m、l、g，假设 它们之间有关式  1  2  3 t = m l g （1） 其中 1 2 3  , , 是待定常数，λ是无量纲的比例常 数.上式的量纲表达 式为   1 2 3 [ ] [ ] [ ]    t = m l g 将[ t ]=T, [m]=M, [ l ]=L, [g ]=LT－2 代入得 T = M 1 L 2 +3 T −23 （2） 按照量纲齐次性，有      − = + = = 2 1 0 0 3 2 3 1     求 解 为 2 1 , 2 1 0, 1 =  2 =  3 = − ， 代 入 式 （ 1 ） 得

t=见 单摆运动的进一步抽象, 设变量关系为 (3) 假设各变量间的关系如下: V21J3 oJ =元 (4) 其中,y1^y;是待定常数,x是无量纲量 各变量的量纲用基本量纲表示如下 I t=LoM'T, I m =LOM'T Il=LMT°,Ig|=LM"T2, (4)式的量纲表达式为 (LMOT)I(LMTO)(LMTO(LMoT-2)=LoMOTO 得 L3+yAMV2TJ-2J4=LOMOTO 根据量纲齐次性,有线性方程组成立

g l t =  . 单摆运动的进一步抽象， 设变量关系为 f (t ， m ， l ， g) =0 ， （3） 假设各变量间的关系如下： 1 2 3 4 =  y y y y t m l g （4） 其中，y1～y4 是待定常数,π是无量纲量. 各变量的量纲用基本量纲表示如下： [ t ]=L0M0T 1 , [ m ]=L0M1T 0 , [ l ]=L1M0T 0 , [ g ]=L1M0T －2 , （4）式的量纲表达式为 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 0 3 1 0 2 4 0 0 0 (L M T ) (L M T ) (L M T ) (L M T ) L M T y y y y = − 得 3 4 2 1 2 4 0 0 0 L M T L M T y y y y y = + − 根据量纲齐次性，有线性方程组成立

y3+y4=0 J2 0 y1-2y4=0 J1 0011 AF=0100y2 00-2 解得方程组的一个解为 J1 J2 J4 代入(4)式有 元 = Vg 或者 F(x)=tg-z=0。 (5) 将上面的推导过程一般化,就是著名的 Buckingham pi定理

     − = = + = 2 0 0, 0, 1 4 2 3 4 y y y y y             =                         − = 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 1 1 4 3 2 1 y y y y AY ， 解得方程组的一个解为             − =               1 1 0 2 4 3 2 1 y y y y 代入（ 4 ） 式 有 =  − t l g 2 1 g l t =  或 者 ( ) 0 2 1 = − = − F  t l g  。 （5） 将 上 面的 推 导过 程一 般 化， 就是 著 名的 Buckingham Pi 定理