电子科技大学应用数学学院：《数学建模》方法二 泰勒近似（徐全智）

方法二泰勒近似 将式 f(n)= x(x-1)(x-2)…(x-n+1) 1≤n≤ 改写成 n f(m)=(1--)(1--)…(1 因 2 3 x=1-x+ x +…+(-1) 2!3! 利用近似式en=1 则 n1- f(n)≈exex…ex=g(m) 令g(m=q,解出 2-n+2xIng=0, 方程的正根为 n=0.5+√0.25-2(nq)x 当q=0.5,则 n=0.5+√025-1.38629x 表77 经验公式近似解n

方法二 泰勒近似 将式 , 1 , ( 1)( 2) ( 1) ( ) n x x x x x x n f n n   − − − + =  改写成 ) 1 ) (1 2 )(1 1 ( ) (1 x n x x f n − = − −  − , 因 − = − + − ++ − + ! ( 1) 2! 3! 1 2 3 n x x x e x n x n 利用近似式 x k e n k = − − 1 ，则 ( ) ( ) 1 2 ( 1) f n e e e g n x n x x  = − − − − −  令 g(n)=q，解出 n 2－n+2xlnq=0, 方程的正根为 n=0.5+ 0.25 − 2(ln q)x 当 q=0.5，则 n=0.5+ 0.25 −1.38629x 表 7.7 x n * 经验公式 ne 近似解 na

100 13 12.36 12.28 1725 17.16 300 21 20.99 20.90 400 24 24.15 24.05 500 27 26.94 26.83 1000 37.86 37.75 1500 46.24 46.10 2000 53 53.30 53.16 3000 65 65.15 64.99 6000 91.90 91.70 12000 130 129.73 129.48 24000 183 183.23 182.90 48000 259 258.89 258.46 泰勒近似式的误差控制函数 用到泰勒公式 x=1-x+ +…+(-D)

100 200 300 400 500 1000 1500 2000 3000 6000 12000 24000 48000 13 17 21 24 27 38 46 53 65 92 130 183 259 12.36 17.25 20.99 24.15 26.94 37.86 46.24 53.30 65.15 91.90 129.73 183.23 258.89 12.28 17.16 20.90 24.05 26.83 37.75 46.10 53.16 64.99 91.70 129.48 182.90 258.46 泰勒近似式的误差控制函数 用到泰勒公式 − = − + − ++ − + ! ( 1) 2! 3! 1 2 3 n x x n x x x e n

k k 从而 +Rk,k=1,2 其中 0≤R≤ k=1,2 Rk是非负的,有 g(n)=I k/x ∏I k (1--+Rk)≥∏(1--)=f(m) k=1 k=1 注意到(m)和g(m)都是单调下降函数,选择n'使 g(n)≥q≥g(mn+1)≥f(n+1), 又若fn)≥q,则n或n+1就是整数n满足f(n)<q 的最小值. g(n) f(n)

从而 x k e − =1－ Rk x k + , k=1,2,…，n－1, 其中 2 ( ) 2 1 0 x k  Rk  ， k=1, 2 , …, n－1; Rk 是非负的，有 (1 ) (1 ) ( ), / ( ) 1 1 1 1 1 1 f n x k R x k x k g n e n k n k k n k = − +  − = − =    − = − = − = 注意到 f(n)和 g(n)都是单调下降函数，选择 n *使 g(n * ) ≥ q≥ g(n *+1) ≥f(n *+1)， 又若 f(n * )≥q，则 n *或 n *＋1 就是整数 n 满足 f(n)＜q 的最小值. g(n) f(n) q 0 n * n *+ 1

若fm)=q 二 n)≤q,当n≥n'; 若fn)>q fn)>q≥g(n+1)≥fn+1)≥ f(m),当n≥n+1 对最小值n点有 0s8(n)-f(n)sg(n)-g(n+1) ep 0sg(n)-f(n)sIleklx-lle k=1 ∏I k/x (1 n/x n / x 是用g(n)代换f(m)的误差控制函数,比值、越接近于 零,误差越小 取x=100,n=13 3,r()=0.1219 n 取x=1500,n=46 0.0307,r()=0.0302; 取x=48000,n2=259 5.3958×10

若 f(n * )= q f(n)≤q ，当 n≥n *； 若 f(n * )＞q f(n * )＞q≥ g(n *+1) ≥f(n *+1)≥ f(n)，当 n≥n *+1. 对最小值 n *点有 0  ( ) − ( )  ( ) − ( +1)     g n f n g n g n 即   = − − =   −  −  − * 1 / 1 1 / 0 ( ) ( ) n k k x n k k x g n f n e e  − = − − = − 1 1 / * / * (1 ) n k k x n x e e 1 ( ) * / * x n e r n x  − = − 是用 g(n)代换 f(n)的误差控制函数, 比值 x n * 越接近于 零，误差越小. 取 x=100，n *=13， 0.13 * = x n ， ( ) 0.1219; * = x n r 取 x=1500，n *=46, 0.0307, * = x n ( ) 0.0302; * = x n r 取 x=48000 ， n *=259 ， 5.3958 10 , 3 * − =  x n

r()=0.00538

( ) 0.00538. * = x n r