电子科技大学应用数学学院：《数学建模》除雪问题（徐全智）

在降雪过程中,清扫过的路面又会重新 开始积雪,雪的厚度将如何变化?特别考虑 降雪速度非常量时的情形。你能否用一个函 数描述马路上雪的堆积情况? 假设 1除雪机开始工作以后连续降了1小 时雪; *2除雪机开始工作时积雪厚度为05m; 六3积雪厚度达15m时,除雪机停止工 作 变量说明 d(x,)-在x处t时刻的积雪厚度 u(t)t时刻的降雪速度 v(t)=v(d(t))-t时刻的除雪速度 s(t)t时刻的行驶距离 d(0,t)+0.5 d(o,t)

在降雪过程中，清扫过的路面又会重新 开始积雪，雪的厚度将如何变化？特别考虑 降雪速度非常量时的情形。你能否用一个函 数描述马路上雪的堆积情况？ 假设 *1 除雪机开始工作以后连续降了 1 小 时雪； *2 除雪机开始工作时积雪厚度为0.5m; *3 积雪厚度达 1.5m 时，除雪机停止工 作. 变量说明 d(x,t)—在 x 处 t 时刻的积雪厚度 u(t) —t 时刻的降雪速度 v(t) = v(d(t))—t 时刻的除雪速度 s(t) —t 时刻的行驶距离 S(t) d(0,t) x d(0,t)+0.5

各变量间的结构关系 降雪速度 积雪厚度 除雪速度 行驶距离 各变量函数是多重复合关系且有 d(0, t)=u(r)dr 未清扫路面的积雪厚度为 ∫u(r)dr+0.5 1.除雪速度 v(t=va(t)) 20 10 0.5<d<1.5: 1.5≤d. 10-[d(0,4)+0.5,0<t<t0; to≤t

各变量间的结构关系 各变量函数是多重复合关系.且有 =  t d t u r dr 0 (0, ) ( ) ， 未清扫路面的积雪厚度为  + t u r dr 0 ( ) 0.5 1. 除雪速度 v(t) = v(d(t))      −   = 0, 1.5 . , 0.5 1.5; 3 20 10 d d d      − +   = 0, . [ (0, ) 0.5], 0 ; 3 2 0 1 0 0 0 t t d t t t 降雪速度 积雪厚度 除雪速度 行驶距离

0-[ha(r)dr+0.5,0<t<0; to≤t. (1) 其中t是除雪机在中途停止工作的时刻, 满足 (2) 2行驶距离 v(s)ds, 0<t<to S(t)= lao v(s) to≤t 20 3 [1-Sou(r)drlds, 0<t< 20 to≤t. (3) 3积雪厚度 (r)dr+0.5,S()< x≤S(t) sX

     −  +   = 0, . [ ( ) 0.5], 0 ; 3 2 0 1 0 0 0 0 t t u r d r t t t （1） 其中 t0是除雪机在中途停止工作的时刻， 满足 =  0 = 0 0 (0, ) ( ) 1 t d t u r dr （2） 2.行驶距离          = ( ) , . ( ) , 0 0 0 0 0 ( ) 0 v s d s t t v s d s t t t t S t       −    −    = [1 ( ) ] , . [1 ( ) ] , 0 0 0 0 3 20 0 0 0 3 20 0 u r d r d s t t u r d r d s t t t s t s （3） 3.积雪厚度         +  = − ( ) , . ( ) 0.5, ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 S t t s x S t t u r d r x u r d r x d x t （4）

其中S-(x)是S(t)的反函数 结论给定降雪速度函数u(t),可求出公 路任意点处任意时刻的积雪厚度d(x,t) 注具体求解过程中有可能需求 s(x)和(的数值解

其中 ( ) ( ) 1 S x 是S t − 的反函数. 结论 给定降雪速度函数 u(t) ，可求出公 路任意点处任意时刻的积雪厚度 d(x,t). 注 具 体 求 解 过 程 中 有 可 能 需 求 0 1 S (x)和t − 的数值解