《数学建模》课程教学资源（PPT课件讲稿）第八章 离散系统建模

(数学模型 第八章商救系统模 8.1层次分析模型 8.,2循环比赛的名次 8.3社会经济系统的冲量过程 84效益的合理分配 O④

第八章 离散系统建模 8.1 层次分析模型 8.2 循环比赛的名次 8.3 社会经济系统的冲量过程 8.4 效益的合理分配 y

(数学模型 离散模型 ·离散模型:差分方程(第7章) 整数规划(第4章)、图论、对策 论、网络流、 分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论(少许) 的知识

离散模型 • 离散模型：差分方程（第7章）、 整数规划（第4章）、图论、对策 论、网络流、… … • 分析社会经济系统的有力工具 • 只用到代数、集合及图论（少许） 的知识

数学模型 8.1层次分析模型 背日常工作、生活中的决策问题 景·涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用,各因素的重要性难以量化 Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process AHP一种定性与定量相结合的 系统化、层次化的分析方法

8.1 层次分析模型 背 景 • 日常工作、生活中的决策问题 • 涉及经济、社会等方面的因素 • 作比较判断时人的主观选择起相当 大的作用，各因素的重要性难以量化 • Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) • AHP——一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法

(数学模型 层次分析法的基本步骤 例选择旅游地如何在3个目的地中按照景色 费用、居住条件等因素选择. 目标层 O(选择旅游地) 准则层景色费用居住饮食旅途 方案层 桂林 黄山北戴河

目标层 O(选择旅游地) P2 黄山 P1 桂林 P3 北戴河 准则层 方案层 C3 居住 C1 景色 C2 费用 C4 饮食 C5 旅途 一 . 层次分析法的基本步骤 例. 选择旅游地 如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择

(数学模丝 “选择旅游地”思维过程的归 决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C, 方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系 用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方 案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤,给出决策问题的定量结果。 ④O

“选择旅游地”思维过程的归 纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C， 方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完 成以上步骤，给出决策问题的定量结果

(数学模丝) 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则C1C2,,Cm对目标O的重要性 C: C=aA=(a,mxn,a>0,a-I 1/2 选择旅游地一 217554-成对比较阵 A=1/41/711/21/3 A是正互反阵 1/31/5 1/31/53 要由A确定C1,Cn对O的权向量

                = 1/ 3 1/ 5 3 1 1 1/ 3 1/ 5 2 1 1 1/ 4 1/ 7 1 1/ 2 1/ 3 2 1 7 5 5 1 1/ 2 4 3 3 A i j i j n n i j j i a A a a a 1 = ( )  ,  0, = 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1 ,C2 ,… , Cn对目标O的重要性 i j ij C :C  a A~成对比较阵 A是正互反阵 要由A确定C1 ,… , Cn对O的权向量 选 择 旅 游 地

数学模型 成对比较阵和权向量 11/24 成对比较的不一致情况 2(C1:C2)一致比较 不一致 a23=8(C2:C3) 13 允许不一致,但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 W(=1)→W,W2…Wn 令a1=1/ =(V,2,…w)~权向量w

                      = n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A     1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1           =    2 1 7 1 1/ 2 4 成对比较的不一致情况 A 1/ 2 ( : ) 12 C1 C2 a = 4 ( : ) 13 C1 C3 a = 8 ( : ) 23 C2 C3 a = 一致比较 不一致 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况 W w w wn ( 1) , , =  1 2 aij wi wj 令 = / w = (w1 ,w2 , w n ) T ~ 权向量 成对比较阵和权向量

(数学模 成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 A 满足4n41k=ak,,k=12,…n 的正互反阵A称一致阵,如 11 一致阵·A的秩为1,A的唯一非零特征根为n 性质·A的任一列向量是对应于n的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A,建议用对应于最大特征根A=w 的特征向量作为权向量w,即

Aw = w                       = n n n n n n w w w w w w w w w w w w w w w w w w A     1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 成对比较完全一致的情况 a a a i j k n i j j k i k 满足  = , , , =1,2,  , 的正互反阵A称一致阵，如 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即 一致阵 性质 成对比较阵和权向量

(数学模型 成对比较阵和权向量 saty等人提出1-9尺度—a取值 比较尺度an1,2,,9及其互反数1,1/2,,19 便于定性到定量的转化: 尺度a 123456789 C:C的重要性相同稍强强明显强绝对强 z=1,2,…1/9~G:C的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1-3,1~51~17,,1p9(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9 (d≠=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵,算出权向量,与实际对比发现,1~9尺度较优

2 4 6 8 比较尺度aij Saaty等人提出1~9尺度——aij取值 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 尺度 1 3 5 7 9 aij Ci :Cj的重要性 相同 稍强 强 明显强 绝对强 Ci Cj a ~ : ij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性与上面相反 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p (p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。 • 便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量

(数学模型 致性检验对A确定不一致的允许范围 已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证:n阶正互反阵最大特征根≥n,且=时为一致阵 定义一致性指标:C、-n CI越大,不一致越严重 为衡量CⅠ的大小,引入随机一致性指标RI随机模 拟得到an,形成A,计算CI即得RI Saty的结果如下 n123456789 1011 RI000.580.901.121241.321.411.451.49151 定义一致性比率CR=CRI当CR<0.时,通过一致性检验 ④O

一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵 −1 − = n n CI  定义一致性指标: CI 越大，不一致越严重 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模 拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 定义一致性比率CR = CI/RI 当CR<0.1时，通过一致性检验 Saaty的结果如下