东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第三章 随机变量的数字特征（3.2）方差（郑永冰）

第二节方差

第二节 方差

课堂练习 1.已知随机变量X服从参数为1/2的指数分布,则随 机变量Z=3X2的数学期望E(Z)= 2.已知随机变量X服从参数为2的泊松( Poisson)分布, YN(2,4),Z=Ⅹ-Y,则EZ=( 若X,Y独立,则E(XY)=( 解1.EZ=3EX-2=4 2.EZ=EXEY=2-(2)=4 E(XY==(EX)(EY)=-4

1. 已知随机变量 X服从参数为1/2的指数分布，则随 机变量 Z=3X-2的数学期望E（Z）=（ ）。 解 1. EZ=3EX-2=4 2. EZ=EX-EY=2-(-2)=4 E(XY)==(EX)(EY)=-4 2. 已知随机变量 X服从参数为2的泊松(Poisson)分布, Y~N(-2,4),Z=X-Y,则EZ=( ); 若X,Y独立,则E(XY)=( ). 课堂练习

随机变量的方差与标准差是刻画随机变量X与E(X 的偏离程度的数字特征。 随机变量的数学期望刻画了随机变量取值的平均值, 反映了随机变量值的集中位置。但在许多实际问题中, 除了要考虑随机变量取值的集中位置,还要考虑随机变 量取值与其均值的偏离程度。 用什么量去刻画随机变量X与其均值的偏离程度呢? 显然不能用XE(X的期望,因为EX-E(X=E(X E(X)=0,即正负偏离彼此抵消了。为避免正负抵消, 可采用EXE(X川或EXE(X)},因为在数学上绝对 值的处理比较麻烦,因此采用后者度量随机变量X与 E(X)的偏离程度,这个值就是方差

随机变量的方差与标准差是刻画随机变量X与E(X) 的偏离程度的数字特征。 随机变量的数学期望刻画了随机变量取值的平均值， 反映了随机变量值的集中位置。但在许多实际问题中， 除了要考虑随机变量取值的集中位置，还要考虑随机变 量取值与其均值的偏离程度。 用什么量去刻画随机变量X与其均值的偏离程度呢？ 显然不能用X-E(X)的期望，因为E[X-E(X)]=E(X)- E(X)=0，即正负偏离彼此抵消了。为避免正负抵消， 可采用E[|X-E(X)|]或E{[X-E(X)] 2}，因为在数学上绝对 值的处理比较麻烦，因此采用后者度量随机变量X与 E(X)的偏离程度，这个值就是方差

一、方差与标准差的定义 定义43设X是一个随机变量,若E{XE(X 在,则称E{XE(利}为随机变量X的方差。记为D(X) 或Ⅴar(X,即 D(=EXE(12 称√D(X)为X的标准差或均方差,记为(X,即 o(X)=√DX (410 由定义知方差D(X是一非负实数,它刻画了随机 变量X的取值与其均值的偏离程度。D(X越小,X的取 值越集中在E(X)附近;D(X越大,X的取值越分散。方 差D(X)实质上是随机变量X的函数(X=XE(X)的数 学期望

一、方差与标准差的定义 称 D(X)为X的标准差或均方差，记为 (X)，即 定义4.3 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)] 2}存 在，则称E{[X-E(X)] 2}为随机变量X的方差。记为D(X) 或Var(X)，即 D(X)=E{[X-E(X)] 2}, (4.9) (X) D(X). (4.10) 由定义知方差D(X)是一非负实数，它刻画了随机 变量X的取值与其均值的偏离程度。D(X)越小，X的取 值越集中在E(X)附近；D(X)越大，X的取值越分散。方 差D(X)实质上是随机变量X的函数g(X)=[X-E(X)] 2的数 学期望

方差的计算: ①若X为离散型随机变量,其分布律为P{X=x}=P, k=1,2,…则 D(X)=E{X-E(X)=∑x-E(X)|;(41) k=1 ②若X为连续型随机变量,其概率密度为∫(x),则 D(X)=E{X-E(X)2}=x-E(X)f(x)dx.(4.12) ③计算方差D(X还有一个常用的公式 D(X)=E(X2)-[E(X) (4.13) 事实上,利用期望的性质,有 D(=EX-E(X)=EX2-2XE(X+E(X121 E(X2)2E(XE(X+[E()2=E(X2)[E(X)2

          1 2 2 ( ) { ( ) } [ ( ) ] ; (4.11) 1,2, , { } k k i k k D X E X E X x E X p k X P X x p 则 ①若 为离散型随机变量，其分布律为 ，  方差的计算： ( ) { ( ) } [ ( )] ( )d . (4.12) ( ), 2 2    D X  E X  E X  x  E X f x x ②若X为连续型随机变量，其 概率密度为f x 则 ( ) ( ) [ ( )] . (4.13) ( ) 2 2 D X E X E X D X   ③计算方差 还有一个常用的公式 事实上，利用期望的性质，有 D(X)=E{X-E(X) 2]=E{X2-2XE(X)+[E(X)] 2} =E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)] 2=E(X2)-[E(X)] 2

例414设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=12 (1-x2),0≤x≤1, 其他, 求方差D(X) 解 E(X)=xf(x)=x(1-x2)3 3 02 8 3 E(X )= x f(xXx=x (1-x )dx 2 5 从而 D(X)=E(X)-E(X/21 3 19 5(8 320

例4.14 设连续型随机变量X的概率密度为          0, , (1 ), 0 1, 2 3 ( ) 2 其他 x x f x . 320 19 8 3 5 1 ( ) ( ) [ ( )] , 5 1 (1 )d 2 3 ( ) ( )d , 8 3 (1 )d 2 3 ( ) ( )d 2 2 2 1 0 2 2 2 2 1 0 2                            D X E X E X E X x f x x x x x E X xf x x x x x 从而 求方差D(X). 解

例415设随机变量X~NA1a2),求方差D(X和标 准差a(X R D(X)=E(X-E(X)1)=EI(X-u)'I (x-p) e 20- dx √2a 作变换 x-a 则 dx=out, D(X)=σ2t e 2 dt 2兀 2 e +e 2 dt 2兀

例4.15 设随机变量X～N(,2)，求方差D(X)和标 准差 (X). e d . 2 1 ( ) ( ) { ( )] } [( ) ] 2 2 2 ( ) 2 2 2            x x D X E X E X E X x      解  t dx dt, x       作变换 ，则 D X t t t e d 2 1 ( ) 2 2 2 2        e e d , 2 2 2 2 2 2 2                     t t t t

(X)=√D(X)=a 可见,正态分布N(凸02)中,第二个参数a2是该分 布的方差,方差a越小,随机变量取值越集中在均值 附近;反之,方差a越大,随机变量的取值越分散。 2的含义与第2章介绍正态分布时的描述是一致的

可见，正态分布N(,2)中，第二个参数2是该分 布的方差，方差2越小，随机变量取值越集中在均值 附近；反之，方差2越大，随机变量的取值越分散。 2的含义与第2章介绍正态分布时的描述是一致的。  (X)  D(X)  

方差的性质 性质1设C为常数,则D(O)=0 TE D(C=EIC-E(CI2=EI(C-C)21=0 性质1表明常数的方差为零。这在直观上很容易理 解,因为方差刻画的是随机变量围绕其均值的波动情况, 常数作为特殊的随机变量,其波动性为零,因此方差为 零 性质2设a,b为常数,则D(aX+b)=m2D(X iE D(aX+b)=EaX+b-E(aX+b)12) ElaX+b-ae(x-b12) =A2EIX-E(X12=a2D(X)

二、方差的性质 性质1 设C为常数，则D(C)=0. 证 D(C)=E{[C-E(C)] 2}=E[(C-C) 2]=0. 性质1表明常数的方差为零。这在直观上很容易理 解，因为方差刻画的是随机变量围绕其均值的波动情况， 常数作为特殊的随机变量，其波动性为零，因此方差为 零。 性质2 设a,b为常数，则D(aX+b)=a 2D(X). 证 D(aX+b)=E{[aX+b-E(aX+b)] 2} =E{[aX+b-aE(X)-b] 2} =a 2E{[X-E(X)] 2}=a 2D(X)

推论1D(X+b)=D(Ⅺ,b为常数。 这表明平移不会改变随机变量的波动情况,即不会 改变方差。 推论2D(aX)=m2D(X,a为常数 特别,D(X=D(X,这表明将随机变量的取值全 取相反数后,随机变量与其均值的偏离程度不变。 性质3D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数 C,即P(X=C}=1,这里C=E(X)(证略) 性质4设随机变量X与Y相互独立,则有 D(壮Y=D(X+D() HE D(X+Y=E(X+Y-E(X+D12) =E{X-E(X}+[YE()}2

推论1 D(X+b)=D(X), b为常数。 这表明平移不会改变随机变量的波动情况，即不会 改变方差。 推论2 D(aX)=a 2D(X), a为常数。 特别，D(-X)=D(X)，这表明将随机变量的取值全 取相反数后，随机变量与其均值的偏离程度不变。 性质3 D(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数 C，即P{X=C}=1，这里C=E(X)(证略). 性质4 设随机变量X与Y相互独立，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 证 D(X+Y)=E{(X+Y)-E(X+Y)] 2} =E{X-E(X)}+[Y-E(Y)]} 2