人民邮电出版社：高等学校21世纪教材《离散数学》电子教案（PPT课件）第六章 代数结构概念及性质

第六章代数结构概念及性质 61代数结构的定义与例 62代数结构的基本性质 6.3同态与问构 64同余关系 65商代数 66积代数 PT PRESS 人民邮电出版社

61代数结构的定义与例 在正式给出代数结构的定义之前,先来说 明什么是在一个集合上的运算,因为运算这个 概念是代数结构中不可缺少的基本概念。 定义6.1.1设是个非空集合且函数 f∈S°或F"→S,则称为一个n元运算 其中m是自然数,称为运算的元数或阶。当n=1 时,称/为一元运算,当n=2时,称/为二元运算, 等等。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心

n s f  S

注意,n元运算是个闭运算,因为经运算后 产生的象仍在同一个集合中。封闭性表明了n元 运算与一般函数的区别之处。此外,有些运算 存在幺元或零元,它在运算中起着特殊的作用, 称它为S中的特异元或常数。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心

运算的例子很多,例如,在数理逻辑中, 否定是谓词集合上的一元运算,合取和析取是 谓词集合上的二元运算;在集合论中,并与交 是集合上的二元运算;在整数算术中,加、减、 乘运算是二元运算,而除运算便不是二元运算, 因为它不满足封闭性。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心

在下面讲座的代数结构中,主要限于一元 和二元运算,将用、减等符号表示一元运 算符;用⊕、⑧、。、O、∧√∩、U等表示 元运算符,一元运算符常常习惯于前置、顶 置或肩置,如k、、x;而二元运算符习惯于前 置、中置或后置,如:+y,x+y,xy+。 有了集合上运算的概念后,便可定义代数 结构了。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心

定义612设S是个非空集合且是S上的n 元运算,其中产1,2,…,m。由S及,月2,… fm组成的结构,称为代数结构,记作<S,f1, f2 ···,Jn 此外,集合S的基数即S定义代数结构的基 数。如果S是有限集合,则说代数结构是有限代 数结构;否则便说是无穷代数结构。 有时,要考察两个或多个代数结构,这里 就有个是否同类型之说,请看下面定义: PT PRESS 人民邮电出版社 合心

定义63设两个代数结构和<T,8182,…,gm,如果和g(1skKm) 具有相同的元数,则称这两个代数结构是同类 型的 可见,判定两个代数结构是否同类型,主 要是对其运算进行考察。 此外,有时还需要在代数结构中集合的某 个子集上讨论其性质,这就引出子代数结构的 概念。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心

定义614设的子代数。记为。 在结束本节时,声明记号即 为一代数结构,除特别指明外,运算符 ∫32m均为二元运算。根据需要对S及 f2,fm可置不同的集合符和运算符。 PT PRESS 人民邮电出版社 合心

62代数结构的基本性质 所谓代数结构的性质即是结构中任何运算 所具有的性质。 1.结合律 给定,则运算“。”满足结合律或 o”是可结合的,即(Vx)(Vy)(Vz)(x,y, z∈S→xoy)ox=xo(yox) PT PRESS 人民邮电出版社 合心

2.交换律 给定,则运算“。”满足交换律或 “。”是可交换的,即(Vx)(y)(x, y∈Soy=yox)o 可见,如果一代数结构中的运算o是可结 合和可交换的,那么,在计算 a1oa2…oa0=am。称am为的m次幂,m称a的 指数。下面给出am的归纳定义: PT PRESS 人民邮电出版社 合心