《分析选论作业解答》作业一

作业解答一 作业1设x1=a∈(0),xn+1= sin,求证:lim=0 证明:因x1=a∈(0,),xn+1=sin,故0<xn<1.而xn+1=sinx<xn,所 以{xn}单调递减,且有下界0。于是{xn}收敛。设 lim xn=b,在xn+=sin两 n→∞ 边取极限得b=sinb,故b=0,即 lim=0。 n→∞ 作业2设an=1+2+√3+…+√n,证明{an}收敛。 证明:显然{an}单调递增。设bn=√1+1+√1++√1,则bn有上界2(可 用归纳法证)。且an≤2bn,事实上,2bn=V2+2+…+22≥an故{an}有 上界4。于是{an}收敛。 补充:(提问解答) 1.在第一题中,求证:=1 n∞3 证: lim=-lim=-lim11mx2xn -lim- n→∞3 3n-yXn-1-In x =-lim sin-n-而 3-xn-1-sinXn-1 im Xsin2x - lim x' x→0x2-sin2xx→0(x-sinx)(x+sinx) =limr x3 lim x→0(x+sinx)x→0x-sinx . =3 2x→01-cosx 故lim-xn=1, 于是,imxn=1

作业解答一 作业 1 设 1 (0, ) 2 x a π = ∈ ， 1 sin n n x x + = ，求证：lim 0 n n x →∞ = 。 证明：因 1 (0, ) 2 x a π = ∈ ， 1 sin n n x x + = ，故0 1 n < x < 。而 1 sin n n n x x x + = < ，所 以{ }nx 单调递减，且有下界 0。于是{ }nx 收敛。设 lim n n x b →∞ = ，在 1 sin n n x x + = 两 边取极限得b = sin b，故b = 0，即lim 0 n n x →∞ = 。 作业 2 设 1 2 3 n a n = + + +"+ ，证明{ }收敛。 n a 证明：显然{an}单调递增。设 111 1 n b = +++"+ ，则 有上界 2(可 用归纳法证)。且 ,事实上， n b 2 n a ≤ n b 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n b a = + +"+ ≥ 。故{ 有 上界 4。于是{ 收敛。 }n a }n a 补充：（提问解答） 1．在第一题中，求证：lim 1 3 n n n x →∞ = 。 证： 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 3 3 1 1 3 1 3 n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x − →∞ →∞ →∞ →∞ − − ⋅ = = = − − = 2 2 1 1 2 2 1 1 1 sin lim 3 sin n n n n n x x x x − − →∞ − − ⋅ − 。而 2 2 4 2 2 0 0 3 0 0 2 0 sin lim lim sin ( sin ) ( sin ) lim lim ( sin ) sin 1 3 lim 3 2 1 cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x → → → → → = − − ⋅ + = ⋅ + − = ⋅ = − ， 故lim 1 3 n n n x →∞ = ， 于是，lim 1 3 n n n x →∞ = 。 1

2.{an},n=12…是一个数列。试证:若 lim当+a2+…+an =a<0 则lmn=0。 FE: lim "n= lim(1ta2ttan-t.tn-1 n- n→∞nn→ a·1=0

2．{an}，n =1,2,"是一个数列。试证：若 1 2 lim n n a a a a →∞ n + + + = < ∞ " ， 则 lim 0 n n a →∞ n = 。 证： 1 2 1 2 1 1 lim lim ( ) 1 n n n n a a a a a a a n n n n − →∞ →∞ + + + + + + n n − = − − " " ⋅ = a a − ⋅1 0 = 2