《分析选论作业解答》作业三

作业解答三 作业7若00,因imbn=0,故3N∈+,当n>N时,n2(1-)。记 n→∞ =max{b}+1.因lim=0,故对上述g,n1ez+,当n-n>n1 n→∞ 时,有n-1- 2M1-n+1于是当n>N+N1时,有 an-N "bo (1-1) 1+ -N-)+ Man-N (1+.+) =(1-),+man-n1-an+1s+=8 1-2n-N 一 1-22 故 n→∞ 作业8设f(x)连续,且当x>-1时,f(x)f(t)dt+1]=e 2(1+x)2 , 求f(x) 解:令g(x)=f(t)dt+1,则f(x)=g(x)。于是 0 (x)()= 2,两边积分得 2(1+x) xe x 2(1+x) dx,即g(x)dg(x) 2(1+xd 从而 g2(x) xe* dx,即g2(x)=xe,dx 22(1+x) (1+x)

作业解答三 作业 7 若0 1 ε 0 ，因 lim n 0，故 n b →∞ = N + ∃ ∈] ，当n > N 时， (1 ) 2 nb ε N 1 1 2 1 n N M N ε λ λ λ − + − + N1时，有 2 1 1 2 0 1 1 1 0 1 (1 )(1 ) (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 n n N n n n n n N n N n n N n N N N n N N n N b b b b b b b b b M M λ λ λ λ λ ε λ λ λ λ λ λ λ ε λ λ ε ε λ λ ε λ λ λ − − − − − + − − − − + − + + + + ≤ + + + + + ≤ − + + + + + + + − − = − ⋅ + −1时， 2 0 ( )[ ( ) 1] 2(1 ) x x xe f x f t dt x + = + ∫ ， 求 f (x)。 解：令 0 ( ) ( ) 1 x g x = f t dt + ∫ ，则 f ( ) x g = ′(x) 。于是 2 ( ) ( ) 2(1 ) x xe g x g x x ′ = + ，两边积分得 2 ( ) ( ) 2(1 ) x xe g x g x dx dx x ′ = + ∫ ∫ ，即 2 ( ) ( ) 2(1 ) x xe g x dg x dx x = + ∫ ∫ 从而 2 2 ( ) 2 2(1 ) x g x xe dx x = + ∫ ，即 2 2 ( ) (1 ) x xe g x dx x = + ∫ 。 1

xe dx=xe d xe dx (1+x) 1+x1+xJ1+x 1+ =-(x-1)ex+C=°,+C,又g(0)=1,故C=0 1+ 于是g(x)=1,。所以 2(1+x 提问解答: 计算lm43 解:lm∏ k-1(k2+k+1) lim lim( n∞2k3+1m→∞d2(k+1k2-k+1)m→∞k2k+1 lim( lim n

2 2 (1 ) 1 1 1 x x xe x x x e x x dx xe d dxe x x x x = = − + + + + ∫ ∫ ∫ = 2 1 x x e x xe dx x − + ∫ = 2 ( 1) 1 x x e x x e C x − − + + = 1 x e C x + + ，又 g(0) =1，故C = 0。 于是 ( ) 1 x e g x x = + 。所以 2 ( ) 2(1 ) 1 x x xe f x e x x = + + 。 提问解答： 计算 3 3 2 1 lim 1 n n k k →∞ k = − + ∏ 。 解： 3 3 2 1 lim 1 n n k k →∞ k = − + ∏ = 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1) 1 1 lim lim ( ) ( 1)( 1) 1 1 n n n n k k k k k k k k k →∞ k k k →∞ k k k = = 2 n = − + + − + + = ⋅ + − + + − + ∏ ∏ ∏ = 2 2 1 2 3 1 7 13 1 lim ( )( ) n 345 1 3 7 1 n n n + →∞ n n n − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − + " " 2 1 2 1 lim n ( 1) 3 n n →∞ n n ⋅ + + ⋅ + = 2 3 = 。 2