东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第一章 事件与概率（1.2）概率的统计定义及概率性质（郑永冰）

1.2概率的统计定义及概率性质 郑永冰 数学与数量经济学院

1.2 概率的统计定义及概率性质 郑 永 冰 数 学 与 数 量 经 济 学 院

就随机现象而言,仅仅知道可能发生哪些 事件是不够的,更重要的是对事件发生的可能 性做出定量的描述.这就涉及到一个概念—事 件的概率( Probability)

就随机现象而言，仅仅知道可能发生哪些 事件是不够的，更重要的是对事件发生的可能 性做出定量的描述.这就涉及到一个概念——事 件的概率(Probability)

概率的统计定义 在大量的重复试验或观察中,事件发生的可 能性却可呈现出一定的统计规律,并且随着试验 或观察次数的增加,这种规律会表现得愈加明显. 例如:投篮 频率( Frequency)定义:若在n次试验中,事件A 发生了nA次,则4在n次试验中发生的频率 f, (a)=

一、概率的统计定义 在大量的重复试验或观察中，事件发生的可 能性却可呈现出一定的统计规律，并且随着试验 或观察次数的增加，这种规律会表现得愈加明显. 例如：投篮 频率(Frequency) 定义：若在n次试验中，事件A 发生了 nA 次，则A在n次试验中发生的频率 n n f A A n ( ) =

易见 (1)0≤fn(4)≤l (2)fn(2)=1 (3若4…4两两互不相容,则/(4)=∑f(4)

(1)0  f (A) 1; n 易见： (2) () =1; n f   k i k i n n i n Ai A A f A f 1 1 1 (3) , , ( ) ( ). = = 若 两两互不相容，则 = 

频率的稳定性:当试验或观察次数n较大时,事件A 发生的频率F(4)会在某个确定的常数p附近摆动 并且在一定意义下,n越大,摆动幅度越小,即在p 渐趋稳定 概率的统计定义:一个事件A的概率P(A)就是该事 件的频率稳定值p,即P(A)=p 投硬币问题

频率的稳定性：当试验或观察次数n较大时，事件A 发生的频率 会在某个确定的常数p附近摆动， 并且在一定意义下， n越大，摆动幅度越小，即在p 渐趋稳定. F (A) n 概率的统计定义：一个事件A 的概率 就是该事 件的频率稳定值p，即 . P(A) P(A) = p 投硬币问题

概率的公理化定义 若集合函数P(4满足 (1)对于每个事件A,都有0≤P(A)≤1; (2)P(_)=1; (3)可列可加性)设A,A2…是两两互不相容的事 件,即4=0≠D),则有P4)=∑P(A) 则称P4)为事件A发生的概率

❖ (3)(可列可加性)设 是两两互不相容的事 件，即 ，则有 ❖ 则称P(A)为事件A发生的概率。 ❖ 二、概率的公理化定义 A1 , A2 ,  A A (i j) i j =   ( ) ( ). 1 1   =  = = i i i P Ai P A ❖ 若集合函数P(A)满足： ❖(1)对于每个事件A，都有0≤ P(A)≤1； ❖(2) P(Ω)＝1；

冷三、概率的性质 l、P(Φ)=0; 2、(有限可加性) B 若事件A,A2,…,A1互不相容,则 P(4)=∑P(A) 特别:若AB=Φ,则有P(A∪B)=P(A)+P(B) 3、若AcB,则P(B-A)=P(B)-P(4A); P(B)≥P(A

❖三、概率的性质 1、P() = 0； 2、(有限可加性) ( ) ( ). 3 ( ) ( ) ( ); P B P A A B P B A P B P A  、若  ，则 − = − A B Ω A B Ω 特别：若AB = ，则有P(AB) = P(A) + P(B). ( ) ( ). , , , 1 1 1 2  = = = n i i n i i n P A P A A A A  若事件  互不相容，则

冷三、概率的性质 4、P(A)=1-P(A

❖三、概率的性质 4、P(A) =1− P(A) A Ω A

冷三、概率的性质 5、加法公式:P(A∪B) P(A+P(B)-P(AB) B 推广 P(A1∪A2∪A3)=P[(A1∪A2)∪A] P(A1∪A2)+P(A3)-PI(A1∪A2)A] P(A1)+P(A2)-P(A1A2)+P(A3) P(A143∪A243) =P(A1)+P(A2)+P(A43)-P(A1A2 A3 P(A2A3)-P(4243)+P(A1A243) 加奇减偶

❖三、概率的性质 ( ) ( ) ( ). 5 ( ) P A P B P A B P A B = + − 、加法公式：  A B Ω ( ) P A1  A2  A3 推广： [( ) ] = P A1  A2  A3 ( ) ( ) [( ) ] = P A1  A2 + P A3 − P A1  A2 A3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 2 3 1 2 1 2 3 P A A A A P A P A P A A P A −  = + − + Ω A1 A2 A3 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 P A A P A A P A A A P A P A P A P A A − − + = + + − 加奇减偶