东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第二章 随机变量（2.6.2）边缘分布（郑永冰）

第三节边缘分布

第二节 边缘分布

例2.2.1设(X,Y)yf(x,y) 4 0≤x≤1,0≤y≤1 0 其它 求(X,Y)的联合分布函数 Y 解(1)x1,y≥1时,F(xy)=1 (3)≤X 1.0≤y≤1 y

例2.2.1 设(X,Y)~      = 0 其它 4x y 0 x 1,0 y 1 f ( x, y ) 求(X,Y)的联合分布函数 . 1 解 (1)x1 时,F(x,y)=   1 0 0 ds 4stdt x 2 = x (5)x>1,0≤y≤1 时,F(x,y)=   y ds stdt 0 10 4 2 = y x y X Y 4xy 综合即得 :                = 1 1, 1 1,0 1 0 1, 1 0 1,0 1 0 0 0 ( , ) 222 2 x y y x y x x y x y x y x y F x y 或

二维随机变量(XY作为一个整体,具有联合分 布函数F(xy),而X,Y各自都是随机变量,它们也 有自己的分布函数F(x),F(y).相对于二维随机变 量(X,Y)的联合分布函数,我们分别称FX(x),F(y) 为X和Y的边缘分布函数。相应地,也有边缘概率密 度和边缘分布律的概念。我们将它们统称为边缘分 布

二维随机变量(X,Y)作为一个整体，具有联合分 布函数F(x,y)，而X，Y各自都是随机变量，它们也 有自己的分布函数FX (x)， FY (y). 相对于二维随机变 量(X,Y)的联合分布函数，我们分别称FX (x)， FY (y) 为X和Y的边缘分布函数。相应地，也有边缘概率密 度和边缘分布律的概念。我们将它们统称为边缘分 布

、边缘分布函数 设(Y,Y)是二维随机变量,其联合分布函数为F(x,y) 则X的边缘分布函数为 Fx(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+o} 即Fx(x)=F(x,+∞)=limF(x,y) (3.1) 同理,Y的边缘分布函数为 Fr(=F(+oo, y)=lim F(,y) (3.12) x→)+∞

( ) ( , ) lim ( , ). (3.1 1) ( ) { } { , } ( , ) ( , ), F x F x F x y F x P X x P X x Y X X Y F x y y X X →+ = + = =  =   + 即 则 的边缘分布函数为 设 是二维随机变量，其联 合分布函数为 一、边缘分布函数 F ( y) F( , y) lim F(x, y). (3.1 2) Y x Y →+  = + = 同理， 的边缘分布函数为

例1设二维连续型随机变量X,Y)的联合分布函数为 x2, 3 y(4+y),x>1,0≤y≤2, x>1,y>2. 求(1)X,Y的边缘分布函数Fx(x),F(y(2)(X,Y)的联合概 率密度∫(x,y)

             +    +    +       = 1, 1, 2. (4 ), 1,0 2, 12 1 (2 1), 0 1, 2, 3 1 ), 0 1,0 2, 4 ( 3 1 0 0 0, ( , ) 1 ( , ) 2 2 x y y y x y x x x y x y y x y x x y F x y X Y 或 例 设二维连续型随机变量 的联合分布函数为 ( , ). (1) , ( ) , ( ) (2) ( , ) f x y X Y FX x FY y X Y 率密度 求 的边缘分布函数 ； 的联合概

解(1)由(3.11式, 0 x2

       +    = + = 1, 1. (2 1), 0 1, 3 1 0, 0, ( ) ( , ) (1) (3.1 1) 2 x x x x x F x F x X 解 由 式，         +    = + = 1, 2. (4 ), 0 2, 1 2 1 0, 0, ( ) ( , ) (3.1 2) y y y y y F y F y Y 由 式

(2)由(3.9)式,f(砂∂2F(x,y) x2y+xy2,0≤x≤1,0≤y≤2, OF(,y) 2x2+-x 0≤x≤1,y>2, 0 其他 F(xy)=x2+x,05x510≤y≤2 3 其他

由 式， .而 ( , ) (2) (3.9) ( , ) 2 x y F x y f x y    =      +     =    0, , , 0 1,0 2, 3 1 ( , ) 2 2 其他 x xy x y x y F x y          +    +     =   0, , , 0 1, 2, 3 2 2 , 0 1,0 2, 6 1 ( , ) 2 2 2 其他 x x x y x y xy x y x F x y

即(X,X)的联合概率密度为 f(x,y)= x2+y,0≤x≤1,0≤y≤2 30 其他

     +     = 0, . , 0 1,0 2, 3 1 ( , ) ( , ) 2 其他 即 的联合概率密度为 x xy x y f x y X Y

二、边缘分布律 设(YY)为二维离散型随机变量,联合分布律为 PX=xi,r=y= 则P{X=x}=PX=x)∩((=y =P{(X=x,=y ∑P{X=x,y ∑p (3.13)

设(X,Y)为二维离散型随机变量 ，联合分布律为 二、边缘分布律   = = = = 1 { , } j i j P X x Y y P{X = x ,Y = y } = p ,i, j =1,2,, i j ij    = = = = = 1 { } {( ) ( ( ))} j i i j 则 P X x P X x Y y   = = = = 1 { ( , )} j i j P X x Y y , 1,2, . (3.1 3) 1 =  = =   = p p i j ij i

同理PY=y}=∑,=P/=12, (3.14 我们称 PX=x, M ∑ P,l=1,2 为Y的边缘分布律,称 PY=y}=P,j=1,2, 为Y的边缘分布律

{ } , 1,2, . (3.14) . 1 = =  = =   = P Y y p p j j i 同理 j ij 我们称 { } , 1,2, 1 = =  . =  = P X x p i i i i 为X的边缘分布律，称 P{Y = y j } = p. j , j =1,2, 为Y的边缘分布律