《数学建模》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 微分方程建模

(数学模型 第六章微分方程建糢Ⅱ 61捕鱼业的持续收获 6,2军备竞赛 6.3种群的相互竞争 64种群的相互依存 65种群的弱肉强食

第六章 微分方程建模II 6.1 捕鱼业的持续收获 6.2 军备竞赛 6.3 种群的相互竞争 6.4 种群的相互依存 6.5 种群的弱肉强食

(数学模型 稳定性模型 对象仍是动态过程,而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势—平衡状 态是否稳定 不求解微分方程,而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性

稳定性模型 • 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性

数学模型 6.1捕鱼业的持续收获 背景·再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等) 再生资源应适度开发—在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题·在捕捞量稳定的条件下,如何控 及分 祈制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定

6.1 捕鱼业的持续收获 • 再生资源（渔业、林业等）与 非再生资源（矿业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题 及 分 析 • 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景

(数学模型 产量模型x(0~渔场鱼量 假设·无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic#律 x(t)=f(x)=Xx(1-) r固有增长率,N最大鱼量 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex,E~捕捞强度 建模 记F(x)=f(x)-h(x) 渔场鱼量满足(t)=F(x)=nx(1x)-E 捕捞情况下 不需要求解x(O,只需知道(稳定的条件

Ex N x x(t) = F(x) = rx(1− ) − ( ) ( ) (1 ) N x x t = f x = rx − 记 F(x) = f (x) − h(x) 产量模型 假设 • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下 渔场鱼量满足 • 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量

(数学模 阶微分方程的平衡点及其稳定性 x=F(x)(1)一阶非线性(自治)方程 P(x)=0的根xo~微分方程的平衡点刘=0→x≡x 设x()是方程的解,若从xo某邻域的任一初值出发, 都有mx(t)=x0,称x0是方程1)的稳定平衡点 t→)o 不求x(0判刘断x稳定性的方法一直接法 (1)的近似线性方程x=F(x0(x-x)(2) F(x)0→x不稳定(对(2),(1)

一阶微分方程的平衡点及其稳定性 x  = F(x) (1) 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 0 0 0 x x x  x=x =   设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发， 都有 lim ( ) , 0 x t x t = → 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 ( )( ) (2) 0 0 (1)的近似线性方程 x  = F x x − x ( ) 0 ( (2),(1)) F x0   x0 稳定 对 ( ) 0 ( (2),(1)) F x0   x0 不稳定 对

(数学模型 产量模型x()=F(x)=rx(1-N)-Ex E F(x)=0 N(1--) 0 平衡点 稳定性判断F(x)=E-F,F(x)=r-E E0x稳定,x不稳定 E>r→F(x)>0,F(x)<0x不稳定,x稳定 E~捕捞强度r固有增长率 x稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯

F(x) = 0 0 = (1− ), x1 = 0 r E x N F(x0 ) = E − r, F(x1 ) = r − E 产量模型 Ex N x x(t) = F(x) = rx(1− ) − 平衡点 稳定性判断 E  r  F(x0 )  0,F(x1 )  0 E  r  F(x0 )  0,F(x1 )  0 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 x0 稳定, x1 不稳定 x0 不稳定, x1 稳定

数学模型) 产量模型在捕捞量稳定的条件下 控制捕捞强度使产量最大图解法 F(x=f(x)-h(x) =e v=Ex f(x=rx(1-e y=h(r)=Ex h(x)=Ex f(c) F(x)=0f与交点P E<r→x稳定 xo=N/2 o NX P的横坐标x~平衡点 P的纵坐标h~产量 产量最大P(x=M/2,hn=rN4)E=hn1x=/2 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

产量模型 在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大 图解法 F(x) = f (x) − h(x) ( ) (1 ) N x f x = rx − h(x) = Ex F(x) = 0 P的横坐标 x0~平衡点 / / 2 * 0 * E h x r = m = y=rx h  P x0 y 0 y=h(x)=Ex N x y=f(x) P的纵坐标 h~产量 ( / 2, / 4) * 0 * 产量最大 P x = N h m = rN f 与h交点P E  r  x0 稳定 hm x0 * =N/2 P* y=E* x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

(数学模 效益模型在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞 强度使效益最大 假设·鱼销售价格p·单位捕捞强度费用c 收入T=ph(x)=pEx 支出S=cE 单位时间利润R=7-S=pEx-CE 稳定平衡点xn=N(1-E/r) E R(E)=7(E)-S(E)=pNE(1--)-cE 求E使R(E)最大口E=(1-)<E*= D 渔场x=N(1-n)=22P N C rN C (1 鱼量 4 pN

cE r E R(E) = T(E) − S(E) = pNE(1− ) − (1 ) 4 2 2 2 p N rN c hR = − R = T − S = pEx − cE 效益模型 假设 • 鱼销售价格p • 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大. (1 / ) 0 稳定平衡点 x = N − E r 求E使R(E)最大 (1 ) 2 pN r c ER = − p N c 2 2 (1 ) = + r E x N R 渔场 R = − 鱼量 2 * r  E = 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE

(数学模型 捕捞·封闭式捕捞追求利润R(E)最大 过度·开放式捕捞只求利润R(E)>0 2 pN R(E)=T(E)-S(E)=PNE(6 C CE=O D E=r( pN R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)E=2ER 临界强度下的渔场鱼量 S(e) N(1-=8) P个,c日E.个x↓ (E) ERE E 捕捞过度 E

Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞 过度 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0 cE r E R(E) = T(E) − S(E) = pNE(1− ) − R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER (1 ) r E x N s s = − p c = 临界强度下的渔场鱼量 p ,c  捕捞过度 ER (1 ) 2 pN r c ER = − E* 令 =0 (1 ) pN c E r s = − Es , xs 

(数学模型 62军备竞赛 目的·描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1)由于相互不信任,一方军备越大,另 方军备增加越快; 2)由于经济实力限制,一方军备越大,对 自己军备增长的制约越大; 3)由于相互敌视或领土争端,每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设1)2)的作用为线性;3)的作用为常数

6.2 军备竞赛 • 描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程 • 解释(预测)双方军备竞赛的结局 假设 1）由于相互不信任，一方军备越大，另一 方军备增加越快； 2）由于经济实力限制，一方军备越大，对 自己军备增长的制约越大； 3）由于相互敌视或领土争端，每一方都存 在增加军备的潜力。 进一步 假设 1）2）的作用为线性；3）的作用为常数 目的