《数学建模》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 初等优化模型

(数学模型 第三章初等优化模烈 3存贮模型 3,2生猪的出售时机 33森林救火 34最优价格 35血管分支 36消费者均衡 3,7冰山运输

第三章 初等优化模型 3.1 存贮模型 3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火 3.4 最优价格 3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输

数学模型 静态优化模黜 现实世界中普遍存在着优化问题 ·静态优化问题指最优解是数(不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法

• 现实世界中普遍存在着优化问题 • 静态优化问题指最优解是数(不是函数) • 建立静态优化模型的关键之一是根 据建模目的确定恰当的目标函数 • 求解静态优化模型一般用微分法 静 态 优 化 模 型

(数学模型 31存贮模型 问题 配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设 备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出 已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划,即多少天生产 次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。 要不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与 求需求量、准备费、贮存费之间的关系

3.1 存贮模型 问 题 配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设 备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂 生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。 已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。 要 求 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 需求量、准备费、贮存费之间的关系

(数学模型 问题分析与思考 日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元。 每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元。 每天费用5000元 10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800+.+100=4500 元,准备费5000元,总计9500元。 平均每天费用950元 50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+.+100 =122500元,准备费5000元,总计127500元。 平均每天费用2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗?

问题分析与思考 • 每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。 日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。 • 10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500 元，准备费5000元，总计9500元。 • 50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。 平均每天费用950元 平均每天费用2550元 10天生产一次平均每天费用最小吗? 每天费用5000元

(数学模型 问题分析与思考 周期短,产量小 贮存费少,准备费多 周期长,产量大 准备费少,贮存费多 存在最佳的周期和产量,使总费用(二者之和)最小 这是一个优化问题,关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数每天总费用的平均值

• 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。 显然不能用一个周期的总费用作为目标函数 目标函数——每天总费用的平均值 • 周期短，产量小 • 周期长，产量大 问题分析与思考 贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多 存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小

(数学模型 模剋假设 1.产品每天的需求量为常数r; 2每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2; 3.T天生产一次(周期),每次生产Q件,当贮存量 为零时,Q件产品立即到来(生产时间不计) 4.为方便起见,时间和产量都作为连续量处理。 建模目的 设rc1,c2已知,求T,Q使每天总费用的平均值最小

模 型 假 设 1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1 , 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）； 建 模 目 的 设 r, c1 , c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理

(数学模型 模型建立 离散问题连续化 贮存量表示为时间的函数q(O) 仁=0生产9件,张(0)=Q,0以Q 需求速率m递减,q(T)=0 A=0m/2 O=rT 0 T 周期贮存费为一周期 2 T +c-t=ctc 2l9(O)t=c2A总费用 2 值〔目标函数)(()、C 每天总费用平均 T 2

模 型 建 立 0 t q 贮存量表示为时间的函数 q(t) T Q r t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r递减，q(T)=0. 一周期 总费用 T Q C c c 2 ~ = 1 + 2 每天总费用平均 值（目标函数） 2 ~ ( ) 1 2 c rT T c T C C T = = + 离散问题连续化 c q t dt c A T 2 0 2  ( ) = 一周期贮存费为 A=QT/2 2 2 1 2 rT = c + c Q = rT

(数学模型 模型求解求T使C(T)= corT 2>Min dc 0 2 2cr dT T Q=rT rca 模型分析 个→7,Q个c2个→7Q↓个→T以Q↑ 模型应用 c1=5000,c2=1,r100 回答问题口T=10(天,Q=100(件,C=1000元

模型求解 Min 2 ( ) = 1 + 2 → c rT T c 求 T 使 C T = 0 dT dC 2 2 1 c c r Q = rT = 2 2 1 rc c T = 模型分析 c1   T,Q  c2   T,Q  r  T ,Q  模型应用 c1=5000, c2=1，r=100 • 回答问题 T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)

数学模型 经济批量订货公式(EOQ公式) 用于订货、供应、存贮情形 每天需求量r,每次订货费c1每天每件贮存费c2 T天订货一次(周期),每次订货Q件,当贮存量降到 零时,Q件立即到货。 2 cir T Q=rT 2 不允许缺货的存贮模型 问:为什么不考虑生产费用?在什么条件下才不考虑?

• 经济批量订货公式（EOQ公式） 2 2 1 rc c T = 2 2 1 c c r Q = rT = 每天需求量 r，每次订货费 c1 ,每天每件贮存费 c2 ， 用于订货、供应、存贮情形 不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到 零时，Q件立即到货

(数学模型 允许缺货的存贮模型 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货,造成损失 Q+rT 原模型假设:贮存量降到零时Q件 立即生产出来或立即到货) TrT 现假设:允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足 周期T仁T贮存量降到零 周期 贮存费 n q(t)dt=C2A 周期总费用 71) 周期c3q()t=c:B C+C 3× 缺货费3

允许缺货的存贮模型 A 0 B q Q r T1 t 当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失 原模型假设：贮存量降到零时Q件 立即生产出来(或立即到货) 现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足 T 1 Q = rT c q t dt c A T 2 0 2 1  ( ) = 一周期 贮存费 c q t dt c B T 3 T 3 1 一周期  ( ) = 缺货费 周期T, t=T1贮存量降到零 2 ( ) 2 2 1 3 1 1 2 r T T c QT C c c − = + + 一周期总费用