东北财经大学数学与数量经济学院：《应用概率论》第二章 随机变量（2.4）随机变量函数的分布（郑永冰）

24随机变量函数的分布 原4

2.4 随机变量函数的分布

已知RX的分布,及￥g(X),yg(x)为连续函数, 如何求RV.Fg(X)的分布? 、X是离散型RV情形 此时F=g(Ⅺ必为离散型RV为求RV.F的分布律, (1)搞清Fg(X的所有取值;(2)求Y取每个值的概率

已知R.V. X的分布，及Y=g(X)，y=g(x)为连续函数， 如何求R.V. Y=g(X)的分布？ 一、X是离散型R.V.情形 此时Y=g(X)必为离散型R.V.为求R.V. Y的分布律， (1)搞清Y=g(X)的所有取值；(2)求Y取每个值的概率

例1一设X具有概率分布 3 Pk0.20.30.10.150.25 求F(X-1)2的概率分布 解 X 2 F=(X-1)24 Y Pk 0.10.3+0.150.2+0.25 Y 0 4 0.10.450.45

解 pk 0.1 0.3+0.15 0.2+0.25 Y 0 1 4 即 0.45 4 pk 0.1 0.45 Y 0 1 例1 设X具有概率分布 X -1 0 1 2 3 pk 0.2 0.3 0.1 0.15 0.25 Y=(X-1) 4 1 0 1 4 2 X -1 0 1 2 3 求Y=(X -1) 2的概率分布

、X是连续型RV情形 先求g(X)的分布函数 Fy(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y 再求导得Y的概率密度/(y)=Fy(y) 分布函数法 例2设X~N(0,1),求F=X2的概率密度。 解 ∫x(x)= e2,-0<x<+0 2兀

F ( y) Y = P{Y  y} = P{g(x) y} 二、X是连续型R.V.情形 先求Y=g(X)的分布函数 再求导得Y的概率密度fY ( y) =FY '( y). ——分布函数法 例2 设X～N(0,1)，求Y=X2的概率密度。 解 = −   +  − f x x x X e , 2 1 ( ) 2 2 

y≤0,F()=P{Y≤y=0 y>0, F(=PY fru)=Fr( 2兀 2丌y y≤

y  0, F ( y) P{Y y} Y =  = 0. y  0, F ( y) P{Y y} Y =  { } 2 = P X  y = P{− y  X  y } x y y x e d 2 1 2 2 − − =  x y x e d 2 2 0 2 2  − =  f ( y) F ( y) Y Y =        = − y y 2 1 e 2 2 2  e , 2 1 2 y y − =  y  0, 0, y  0

例3随机变量X的概率密度为 6x(1-x),0<x<1 ∫x(x) 其他, 求y=1-2X的概率密度。 解 y≤-1,F(y)=P{Y≤y}=0 y≥1,F(y)=P{≤y=1 -1<y<l, Fr()=prsy=pl-2Xsy PX≥ 2 fx(x)dx

   −   = 0, , 6 (1 ), 0 1, ( ) 其 他 x x x f X x 例3 随机变量X的概率密度为 求Y=1-2X的概率密度。 解 y  −1, F ( y) P{Y y} Y =  = 0. y  1, F ( y) P{Y y} Y =  = 1. −1 y 1, F ( y) P{Y y} Y =  = P{1− 2X  y}       − =  2 1 y P X  + = − 2 1 y f X (x)dx

f(x)dx=1-2 6x(1-x)dx 0 1、3 (1-y)2+-(1-y 4 -1<y<1,f(y)=F(y)=6 J J 2 2 3 即(0)=4(-y2,-1y<1 其他

 − − = − 2 1 1 ( )d y f X x x  − = − − 2 1 0 1 6 (1 )d y x x x 2 3 (1 ) 4 1 (1 ) 4 3 = 1 − − y + − y −1 y 1, f ( y) F ( y) Y Y =          −         − −         − = 2 1 2 1 1 2 1 6 y y (1 ) 4 3 2 = − y      − −   = 0, . (1 ), 1 1. 4 3 ( ) 2 其 他 即 y y f y Y

例4设RV.X~U(-1,2),其概率密度为 1<x<2, 3 0,其他, 求y=x2的概率密度。 解 y<0,Fy(y)=0, y=x y≥4,F(y)=1

解      −   = 0, , , 1 2, 3 1 ( ) 其 他 x f X x 例4 设R.V. X～U(-1,2)，其概率密度为 求y=x 2的概率密度。 y −1 O 2 x 4 1 2 y  0, F ( y) = 0, y = x Y y  4, F ( y) = 1. Y

0≤y<1, Fy(y)=P{Y≤y =P(X2≤y}=PysX≤y} vy 1 √y -dx X r)ar vy 3 3 l≤y<4, Fy(y)=P{Y≤y P{X≤y y=x P{-1≤X≤yy} √y1 +1 dr= 3 3

y −1 O 2 x 4 1 2 y = x 0 y 1, F ( y) P{Y y} Y =  { } 2 = P X  y = P{− y  X  y } − = y y f X (x)dx − = y y dx 3 1 . 3 2 y = 1 y  4, F ( y) P{Y y} Y =  { } 2 = P X  y = P{−1 X  y } − = y x 1 d 3 1 3 + 1 = y

0<卩<1 fru)=Fr(= 1<y<4, 其他

               =  = 0, . , 1 4, 6 1 , 0 1, 3 1 ( ) ( ) 其 他 y y y y f y F y Y Y