山东科学技术出版社：吉米多维奇《数学分析》习题集题解（六）PDF电子书（第八章 重积分和曲线积分）

B.Ⅱ吉米多维奇 数学分析习题集题解 (六) 费定晖周学圣编演 郭大钩邵品琮主审 山东科学技术出版社

出版说明 吉米多维奇(B.. EMIJ OBH4)著《数学分析习题集》 一书的中译本,自50年代初在我国翻译出版以来,引起了全 国各大专院校广大师生的巨大反响。凡从事数学分析教学的 师生,常以试解该习题集中的习题,作为检验掌握数学分析基 本知识和基本技能的一项重要手段。二十多年来,对我国数学 分析的教学工作是甚为有益的。 该书四千多道习题,数量多,内容丰富,由浅入深,部分題 目难度大。涉及的内容有函数与极限,单变量函数的微分学, 不定积分,定积分,级数,多变量函数的微分学,带参变量积分 以及重积分与曲线积分、曲面积分等等,概括了数学分析的全 部主题。当前,我国广大读者,特别是肯于刻苦自学的广大数 学爱好者,在为四个现代化而勤奋学习的热潮中,迫切需要对 一些疑难习题有一个较明确的回答。有鉴于此,我们特约作 者,将全书4462题的所有解答汇辑成书,共分六册出版。本书 可以作为高等院校的学参考用书,同时也可作为广大读者 在自学微积分过程中的参考用书。 众所周知,原习题集,题多难度大,其中不少习题如果认 真习作的话,既可以深刻地巩固我们所学到的基本概念,又可 以有效地提高我们的运算能力,别是有些难題还可以迫使 我们学会综合分析的思维方法。正由于这样,我们殷切期望初 学数学分析的青年读者,一定要刻苦钻研,千万不要轻易查抄 1

本书的解答,因为任何削弱独立思索的作法,都是违背我们出 版此书的本意。何况所作解答并非一定标准,仅作参考而已。 如有某些误解、差错也在所难免,一经发觉,恳请指正,不胜感 谢 木书蒙潘承泂教授对部分难題进行了审校。特请郛大钧 教授、邵品琮教授对全书作了重要仔细的审校。其中相当数量 的难废大的題,都是郭大钓钧、邵品琮亲自作的解答。 参加编演工作的还有黄春朝同志。 本书在煸审过程中,还得到山东大学、山东工业大学、山 东师范大学和曲阜师范大学的领导和同志们的大力支持,特 在此一并致谢。 2

目录 第八章重积分和曲线积分 §1.重积分……………………………………………………1 §2.面积的计算法……… 苓3,体积的计算法 84.曲而面积计算法 ………………105 氵5.重积分在力学上的应用………………………!9 §6.二重积分……… 144 §.利用三重积分计算体积法…………………168 8.重积分在力学上的应用…187 §9.重和重!义积分…………218 §0.多重积分 …………………………270 §1曲线积分……………………………………………299 s12.格林公式……… ………………………………319 S13.曲线积分的物理应用… 丶号甲甲4Ba· §14.出面积分……………………………400 §15.斯托克斯公式 …130 16.奥斯持洛格拉德斯基公式………………………440 §17.场论初步 475

第八章重积分和曲线积分 §1.二重积分 1二重积分的直接计算法所谓连续函数f(x,y)展布在有限封 闭可求积维域内的二重积分乃指的数 f(x,y)ldy=m∑》f(,y)△43 其中Δx,=x,+1-x,4y,=y+-y,而其和为对所有i,使(x,y)∈ 的那些值来求的。 若域由下面的不等式所给出 a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x), 其中y1(x)和y2(x)为在闭区间[a,b〕上的连续函数,则对感的-重积 分可按下面的公式来计算 x】 了·y nd y 2二重积分中的变量代换若可微分的连续函数 ytu 把平面Oxy上的有限闭域D单值唯一地映射为平面OU上的域Ω及 雅哥比式 D(z, y) I=D(a,)×0, 则下之公式正确: f(r,y)dxdy= l f(r(u, v),y(u,D))1I dudu

特别是,根据公式x=rcsy,y= rainy变换为极坐标r和φ情形 有 f(r, y)dxd. f(rcos, rsing)rdrd9. 3901把积分‖ rydxdy,当作积分和的极跟,用直线 n 把积分域分许多正方形,并选取被积函数在这些正方 形之右顶点的值计算所论积分的值 解由于 (n+1 An ro). 其中 n(n+1) n(n+1) 2 故 c dady 4 ≤ 3902.用直线 0,1, 把域1≤x≤2,1≤y≤3分为许多矩形.作出函数 f(x,y)x2+y2在此域内的积分下和S与积分上和 S.当n→∞时.上和与下和的极限等于什么? 解下和

1+ +(1+ 2 2n2 2 i+n十 +2 401 3n 其中 (n-1)n(2n-]) (n-1)n(2n-1) 上和 +1+ 2 2 40,11 ±+ 3n 当n+∞时,S与S的极艰均等于3=133 3903.用-系列内接正方形作为积分域的近似域,这些方形 的顶点A,在整数点,并取被积函数在每个正方形距原 点的最远的顶点之值近似地计算积分 dxdy 4+x2 并与精确的值加以比较。 解由题意知,应取的正方形顶点为(1,1),(1,2),(1, 3),(1,4),(2.1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(32)

(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),故利用对称性知 dxdy 1⊥2 24+x2+ 26 29 + 32 37 44 42 49 0.196+0.371+0.343+0.312+0.177 0.329+0.302+0.154+0.285 2.470 Eev 即 9.880 √24+x2+ 下面计算积分的精确值: Tay 24x2+ 41n(y+√24+x+ 4ln(√25-x2+7)dx-2|ln(24+x2)d 0 由于 ln(24+x2)dx=dn(24+x2)-f 24 xln(24+x2)-2x+ 24 actg +C 从而 2|In(24+x2)dx =[2xln(24+x2)-4x+48 actg 24小}0

20ln7-20+8√6 arct 又 4In(25 7)d. D =4xln(√25-x2+7)。 dr 4 0(√25 +7)√25 dx 20ln7+ (√25-x2+7)25 再令x=5sint,有 x“x 2t+25 0(√25 7)√25-x 5cost+7 (5cost- 2dt 24 de o 5cost+-7 ?t一5nt) 24 arct tg 7丌 2 5-4√6 arct 24 从而 4|ln(25-x2+7)dx 2ln7+14x-20-16 6 actg 24 注意到 Zarctg g 24 √24 最后便得到

ray 24十 14x-424(2ctg-2+ arte/24 √/24 2r(7 24)÷13.19. 将精确值与近似值作比较,显见误差较大,其原因 在于有不少不是正方形的域都被忽略,因而产生较大的 绝对误差431及较大的相对误差3.19÷32.7 注意,求 d.icl y 的精确值若釆用 24+x2+ 极坐标则较为简单: drd 24 /24 2x(7 24) 但按原习题集的安排,似应在3937题以后才开始使用 极坐标故本题仍用直角坐标进行计算 3904.用直线x-常数,y=常数,x+y=常数把域S分为 四个相等的三角形,并取被积函数在每令三角形的中线 交点之值.近似地计算积分 t 3ds 其中S表由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的三 角形 解我们只须 1及x+y=2 分域S 即得四个相等的三角形,它们的面积均为女,重心为