电子科技大学应用数学学院：《数学建模》2003年研究生试题（徐全智）

2003年《数学建模》研究生试题 施肥效果分析 农作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P)。某作物研究所在某 地区对生菜做了一定数量的实验,实验数据如下列表所示,其中ha表示公顷,t 表示吨,kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量 保持在第七个水平上。 试分析施肥量与产量之间关系,并对所得结果从应用价值与如何改进等方面 做出估计。 施肥产量 施肥|产量 施肥产量 量|(t/ha) (t/ha) 以」 15.75 16.76 46 16.89 84 16.27 147 14.33 140 1624 l121775 17.10 186 17.56 16822.59 294 2194 1920 242163 391 264 3721797 280 1934 2134 465 1584 33616.1 587 22.07 558 20.11 24.53 651「19401 足球队的排名问题 下表给出了我国12支足球队在1988-1989年全国足球甲级联赛中的成绩 足球队比赛成绩 TIT2 T3 T4 Ts T6 T7 TsTo To Tll 1 0122203:1100.102101:1× 1:0103:1 1:32:1401:1 0:002|10 200:01:12:11:10.02:00:2 |422:13:11001100:1× 1:1 0:0

2003 年《数学建模》研究生试题 一. 施肥效果分析 农作物生长所需的营养素主要是氮（N）、钾（K）、磷（P）。某作物研究所在某 地区对生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表示公顷， t 表示吨，kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量 保持在第七个水平上。 试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面 做出估计。 生菜：N P K 施肥 量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥 量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 施肥 量 (kg/ha) 产量 (t/ha) 0 11.02 0 6.39 0 15.75 28 12.70 49 9.48 47 16.76 56 14.56 98 12.46 93 16.89 84 16.27 147 14.33 140 16.24 112 17.75 196 17.10 186 17.56 168 22.59 294 21.94 279 19.20 224 21.63 391 22.64 372 17.97 280 19.34 489 21.34 465 15.84 336 16.12 587 22.07 558 20.11 392 14.11 685 24.53 651 19.40 二. 足球队的排名问题 下表给出了我国 12 支足球队在 1988—1989 年全国足球甲级联赛中的成绩。 足球队比赛成绩 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12 T1 × 0:1 1:0 0:0 2:2 1:0 0:2 2:0 3:1 1:0 3:1 1:0 0:1 1:3 0:2 2:1 1:0 4:0 1:1 1:1 × × T2 × 2:0 0:1 1:3 0:0 2:0 0:0 1:1 2:1 1:1 0:0 2:0 0:2 × × T3 × 4:2 1:1 0:0 2:1 3:1 1:0 0:1 1:0 0:1 × ×

×2:30:10:52:10:10 231:3|001:1 10|0:1 |102:13:13:120 20303:0 001:0|22 ×0:11:13:100 1210 2001 |30101:0 1:0 1:02:0 1:2 1:1 注意:从表中给出的比赛成绩来看,数据是残缺不齐的,某些队之间未进行比赛, 而某些队间进行了1~3场不等的比赛场次。 请仔细分析数据,要求 (1)设计一个依据这些成绩数据排出诸队名次的算法,并给出用该算法排名次的 结果。 (2)把算法推广到任意N个队的情况。 (3)讨论:数据应具备什么条件,用你的方法才能排出诸队的名次。 三.付款柜优化设置 一小超级市场有4个付款柜,每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所 购商品件数成正比(大约每件费时1秒种),20%的顾客用支票或信用卡支付,这需 要1.5分钟,付现款则仅需0.5分钟。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8 个以下商品的顾客服务,指定另外两个为“现金支付柜”。 请你建立一个模拟模型,用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到 达平均间隔时间是0.5分,顾客购买商品件数按下频率表分布 件数≤89~1920~2930~3940~49≥50 相对频率0.20 0.18 四.药物吸收数学模型 对药物在人体血液中浓度分布规律的研究是药物学的重要课题之一,在对病人

T4 × 2:3 0:1 0:5 2:3 2:1 1:3 0:1 0:0 0:1 1:1 × × T5 × 0:1 × × × × 1:0 1:2 0:1 1:1 T6 × × × × × × × T7 × 1:0 2:0 0:0 2:1 3:0 1:0 3:1 3;0 2:2 3:1 2:0 T8 × 0:1 1:2 2:0 1:1 1:0 0:1 3:1 0:0 T9 × 3:0 1:0 0:0 1:0 1:0 T10 × 1:0 2:0 T11 × 1:1 1:2 1:1 T12 × 注意：从表中给出的比赛成绩来看，数据是残缺不齐的，某些队之间未进行比赛， 而某些队间进行了 1～3 场不等的比赛场次。 请仔细分析数据，要求： （1） 设计一个依据这些成绩数据排出诸队名次的算法，并给出用该算法排名次的 结果。 （2） 把算法推广到任意 N 个队的情况。 （3） 讨论：数据应具备什么条件，用你的方法才能排出诸队的名次。 三. 付款柜优化设置 一小超级市场有 4 个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所 购商品件数成正比（大约每件费时 1 秒种），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需 要 1.5 分钟，付现款则仅需 0.5 分钟。有人倡议设一个快速服务台专为购买 8 个或 8 个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。 请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到 达平均间隔时间是 0.5 分，顾客购买商品件数按下频率表分布。 件 数 ≤8 9～19 20～29 30～39 40～49 ≥50 相对频率 0.12 0.10 0.18 0.28 0.20 0.12 四．药物吸收数学模型 对药物在人体血液中浓度分布规律的研究是药物学的重要课题之一，在对病人

进行治疗时,确定药物的每次用量以及给药的时间间隔十分重要 药物注射进人体后,药物在血液中的反应关系满足 dt 其中y=y(t)表示t时刻血液循环中的药量。关心的是对病人多次用药后药物在人体 内的分布方式及行为。请考虑 (1)对给定一次用药量υ和规定最终药量水平y,确定两次注射所需的间隔时 间; (2)在固定时间T内,要达到最终药剂量ys所需的一次用药量。 (3)为尽快使人体血液的药物浓度达到最终药量水平y,试考虑一种适用可行的 给药方式

进行治疗时，确定药物的每次用量以及给药的时间间隔十分重要。 药物注射进人体后，药物在血液中的反应关系满足 = −ky, k  0 dt dy ， 其中 y=y(t)表示 t 时刻血液循环中的药量。关心的是对病人多次用药后药物在人体 内的分布方式及行为。请考虑 （1）对给定一次用药量 y0 和规定最终药量水平 ys，确定两次注射所需的间隔时 间； （2）在固定时间 T 内，要达到最终药剂量 ys 所需的一次用药量。 （3）为尽快使人体血液的药物浓度达到最终药量水平 ys，试考虑一种适用可行的 给药方式