电子科技大学应用数学学院：《数学建模》反函数法（徐全智）

(1)反函数法 重要结论:设随机变量Y的分布函数F()是连续 函数,而 且随机变量X~U(0,1),令Z=F1(X),则Z与Y有相 同分布 证明:Fz(z)=P{F1(X)≤}=P{X≤ F(2I=G(F()=F() 其中,G(x)是随机变量X的分布函数: x<0; G(x)={x,0≤x<1; 1≤x 若Y的概率密度为/v),由F=F(X)可得 X=F(Y)=f(y)④y 对给出的(0,1)上均匀分布随机数r;则具有 给定分布的随机数y可由方程 y f(n)dy 中解出 舍选法算法原理分析: 设P{a<Z<b=1,Z的概率密度为f(z) (1)选常数λ,使λf(z)≤1,z∈(a,b) (2)随机变量X1,X2相互独立X~U(0,1)

（1）反函数法 重要结论：设随机变量 Y 的分布函数 F(y)是连续 函数，而 且随机变量 X～U(0,1)，令 Z=F －1 (X)，则 Z 与 Y 有相 同分布. 证明： FZ （ z） = P{F － 1 (X) ≤ z}= P{X ≤ F(z)}=G(F(z)) = F(z) 其中，G(x)是随机变量 X 的分布函数：          = 1, 1 . , 0 1; 0, 0; ( ) x x x x G x 若 Y 的概率密度为 f(y)，由 Y=F －1 (X)可得  − = = Y X F(Y) f ( y)dy 对给出的（0，1）上均匀分布随机数 ri，则具有 给定分布的随机数 yi可由方程  − = i y ri f ( y)dy 中解出. 舍选法算法原理分析： 设 P{a＜Z＜b}=1，Z 的概率密度为 f(z), (1) 选常数λ，使λf(z)≤1，z∈(a，b)； (2) 随机变量 X1，X2 相互独立 Xi～U(0, 1)

x Y1=a+(b-a)XU(a, b); (3)若≤Mf(Y1),则令X=Y1,否则剔除X, X2重复到(2) 随机变量X的分布与Z相同 证明:FX(z)=P{X≤dX2≤(H1) P{X≤3,X2≤(1)/PX2≤f(1 =P{H1≤3,X2≤4(H1/PX2≤(H nf(yn)dy b-ao b =f(ndy1 b=a nf(y1)dy1 从而fx(z)=FX(z)=f(z),随机变量X与z的概率 密度相同 Af1

令 Y1=a+(b－a)X1～U(a, b); (3) 若 X2≤λf(Y1)，则令 X=Y1，否则剔除 X1， X2 重复到(2). 随机变量 X 的分布与 Z 相同. 证明： ( ) { ( )} 2 Y1 FX z = P X  z X  f { , ( )}/ { ( )} 2 1 2 Y1 = P X  z X  f Y P X  f { , ( )}/ { ( )} 1 2 1 2 Y1 = P Y  z X  f Y P X  f    = = − = z b a a z a f y dy f y dy b a f y dy b a 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1   从而 fX (z) = FX  (z) = f (z) , 随机变量 X 与 Z 的概率 密度相同. x2 λf(y1) 1

JI b

0 a z b y 1