电子科技大学应用数学学院：《数学建模》证明相轨线（徐全智）

证明相轨线(xec)(ye-)=S (2) 是封闭曲线 证明 令g(x)=x"e h(y)=y k, -b 方程(2)为 g(x)(y)=S,x>0,y>0 (2 1)分析g(x)的函数形态 k 2 X 且g(0)=g(+∞)=0 故g(x)在x=妇处达到最大值,令 g k2 max C 同理M()在=4达到最大值,记hm=(41ye b 两条曲线有相似的函数形态

证 明 相轨线 x e y e S k cx k by = − − ( )( ) 2 1 (2) 是封闭曲线. 证明： 令 k cx g x x e − = 2 ( ) ， k by h y y e − = 1 ( ) 方程(2)为 g(x)h( y) = S ，x＞0，y＞0， （2′） 1）分析 g(x)的函数形态：            = =    = − − − 0, . 0, ; 0, ; ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 c k x c k x c k x g x x e k cx 因 k cx 且 g(0) = g(+) = 0 ， 故 在 处达到最大值，令 c k g x x 2 ( ) = 2 2 ( ) 2 max k k e c k g − = 同理 在 达到最大值， b k h y y 1 ( ) = 1 1 ( ) 1 max k k e b k h − 记 = . 两条曲线有相似的函数形态

g nna g(x) 0 k2/ 2)分析方程(2′)根的情况 对固定的S,仅当0<S≤ gmax h时,方程(2)才 可能有解 对不同的S值进行讨论 1.当S= gmax h时,方程(2)有唯一解 k y C b 此时,轨线退化为平衡点A(2, c b 2.当0<S g max h max S 0 max 令 0<u<hmax

2）分析方程(2′)根的情况 对固定的 S，仅当 0＜S≤gmax hmax 时，方程(2)才 可能有解. 对不同的 S 值进行讨论： 1. 当 S= gmax hmax 时，方程(2)有唯一解 b k y c k x 2 1 = , = ， 此时，轨线退化为平衡点 A（ b k c k2 1 , ）. 2. 当 0 ＜ S ＜ gmax hmax ， max max 0 h h S   ， 令 hmax S  = 0    hmax ， x0 x1 0 gma x k2/c μ g(x)

因g(x)是连续函数,且8(0)=g(+0)=0,根据连 续函数介值定理知,存在x01 (y) s umax <hmax g(x) g(x) h(v) hn yo k1/b yI 记x=hn max g(r) 则0<4<hmx 又因(0)=(+∞)=0及h()的连续性,根据介值定 理,存在yy1,使 max h(y0)=h(y1)== g(x) 有 h(o)g(x)=Ahmax=S h(y1)g(x)= max 两式同时成立,即方程(2)有两个相异根

因 g(x)是连续函数，且 g(0) = g(+ ) = 0 ，根据连 续函数介值定理知，存在 x0＜x1，使 g(x0 ) = g(x1 ) =  ， ① 取 x0＜x＜x1, 有 g(x) >μ max max ( ) ( ) ( ) h g x h g x S h y = =   ( ) max g x h 记  = ， 0  hmax 则   ， 又因h(0) = h(+) = 0 及 h(y)的连续性，根据介值定 理，存在 y0<y1,使 ( ) ( ) 0 1 h y = h y = ( ) max g x h  = ， 有 h( y0 )g(x) = hmax = S , h( y1 )g(x) = hmax = S , 两式同时成立，即方程（2）有两个相异根. y0 k1/b y1 0 h(y) μ ＇′ hm ax

Ahmax ②当xx时,g(x)=□ 'max g(x0) b 同理,当x=x1时,g(x1)=p b 两种情形方程(2)都仅有一个根 xgx0,x1时, S h(y)= iAx > max g g 方程无根 至此,已证明方程(1)的解是周期解

②当 x=x0时，g(x0)=μ max 0 max ( ) h g x h  = =   b k y 1 0 = . 同理，当 x=x1时，g(x1)=μ b k y 1 1 = , 两种情形方程（2）都仅有一个根. ③ x [x0 , x1 ]时， g(x) ＜ μ max max ( ) ( ) ( ) h g x h g x S h y = =   ， 方程无根. 至此，已证明方程(1)的解是周期解